LekcjeRazem

Krok 1. Oznaczenia i podstawowa proporcja.

Niech \(|AB|=a\) oraz \(|CD|=b\) (podstawy trapezu, \(AB\parallel CD\)).

Trójkąty \(APB\) i \(CPD\) są podobne (kąty naprzemianległe przy prostych równoległych), a skala podobieństwa wynosi \(\frac{a}{b}\). Zatem:

\(\frac{|AP|}{|PC|}=\frac{|BP|}{|PD|}=\frac{a}{b}\), skąd \(\frac{|AP|}{|AC|}=\frac{|BP|}{|BD|}=\frac{a}{a+b}\)

Krok 2. Odcinek \(MP\).

W trójkącie \(ACD\) prosta \(MP\) jest równoległa do boku \(CD\) (bo \(MN\parallel CD\)), a punkt \(P\) leży na \(AC\). Z twierdzenia Talesa:

\(\frac{|MP|}{|CD|}=\frac{|AP|}{|AC|}=\frac{a}{a+b}\)

\(|MP|=\frac{ab}{a+b}\)

Krok 3. Odcinek \(NP\).

W trójkącie \(BCD\) prosta \(NP\) jest równoległa do boku \(CD\), a punkt \(P\) leży na \(BD\):

\(\frac{|NP|}{|CD|}=\frac{|BP|}{|BD|}=\frac{a}{a+b}\)

\(|NP|=\frac{ab}{a+b}\)

Krok 4. Wniosek.

\(|MP|=|NP|=\frac{ab}{a+b}\), co należało wykazać. \(\blacksquare\)