LekcjeRazem

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(|\angle ABC|=\alpha\), wtedy \(|\angle BAC|=2\alpha\) oraz \(|\angle ACB|=180^\circ-3\alpha\).

Oznaczmy \(a=|BC|\) (naprzeciw kąta \(A\)), \(b=|AC|\) (naprzeciw kąta \(B\)), \(c=|AB|\) (naprzeciw kąta \(C\)).

Teza przyjmuje postać \(a^2-b^2=bc\).

Krok 2. Twierdzenie sinusów.

Niech \(R\) będzie promieniem okręgu opisanego. Wtedy:

\(a=2R\sin 2\alpha\), \(\;b=2R\sin\alpha\), \(\;c=2R\sin(180^\circ-3\alpha)=2R\sin 3\alpha\)

Krok 3. Przekształcenie lewej strony.

\(a^2-b^2=4R^2\left(\sin^2 2\alpha-\sin^2\alpha\right)\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2 X-\sin^2 Y=\sin(X+Y)\sin(X-Y)\):

\(\sin^2 2\alpha-\sin^2\alpha=\sin(3\alpha)\sin(\alpha)\)

Zatem:

\(a^2-b^2=4R^2\sin 3\alpha\sin\alpha=(2R\sin 3\alpha)(2R\sin\alpha)=c\cdot b\)

czyli \(|BC|^2-|AC|^2=|AB|\cdot|AC|\), co należało wykazać.

Uwaga: wykorzystaną tożsamość otrzymujemy z zależności \(\sin^2 X-\sin^2 Y=\frac{1-\cos 2X}{2}-\frac{1-\cos 2Y}{2}=\frac{\cos 2Y-\cos 2X}{2}=\sin(X+Y)\sin(X-Y)\). \(\blacksquare\)