LekcjeRazem

Krok 1. Zamiana iloczynu na sumę.

Korzystamy ze wzoru \(\sin X\cos Y=\frac{1}{2}\left[\sin(X+Y)+\sin(X-Y)\right]\) dla \(X=\frac{\pi}{12}-\alpha\) oraz \(Y=\frac{\pi}{12}+\alpha\):

\(X+Y=\frac{\pi}{6}\), \(\;X-Y=-2\alpha\)

\(\sin\left(\frac{\pi}{12}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\alpha\right)=\frac{1}{2}\left[\sin\frac{\pi}{6}+\sin(-2\alpha)\right]\)

Krok 2. Uproszczenie.

\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) oraz \(\sin(-2\alpha)=-\sin 2\alpha\), więc wyrażenie jest równe:

\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\sin 2\alpha\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin 2\alpha\)

Krok 3. Oszacowanie.

Dla \(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) mamy \(2\alpha\in(0,\pi)\), a więc \(\sin 2\alpha\gt 0\), skąd \(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\gt 0\) i

\(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin 2\alpha\lt\frac{1}{4}\)

co kończy dowód. \(\blacksquare\)