LekcjeRazem

Krok 1. Kąt naprzeciw boku \(BC\).

Z twierdzenia sinusów dla kąta \(\alpha=|\angle BAC|\), leżącego naprzeciw boku \(BC\):

\(\frac{|BC|}{\sin\alpha}=2R\)

\(\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Stąd \(\alpha=60^\circ\) albo \(\alpha=120^\circ\).

Krok 2. Wybór kąta.

Bok \(BC\) jest najdłuższy, więc leżący naprzeciw niego kąt \(\alpha\) jest największym kątem trójkąta. Sprawdzamy przypadek \(\alpha=60^\circ\): z twierdzenia cosinusów

\(48=|AC|^2+36-2\cdot 6\cdot|AC|\cdot\frac{1}{2}\), czyli \(|AC|^2-6|AC|-12=0\), skąd \(|AC|=3+\sqrt{21}\approx 7{,}58\)

Wtedy \(|AC|\gt|BC|=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\), co przeczy założeniu, że \(BC\) jest najdłuższy — ten przypadek odrzucamy.

Zatem \(\alpha=120^\circ\) oraz \(\cos\alpha=-\frac{1}{2}\).

Krok 3. Twierdzenie cosinusów.

\(|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot|AC|\cdot|AB|\cdot\cos\alpha\)

\(\left(4\sqrt{3}\right)^2=|AC|^2+6^2-2\cdot 6\cdot|AC|\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(48=|AC|^2+36+6|AC|\)

\(|AC|^2+6|AC|-12=0\)

\(\Delta=36+48=84\), \(\;\sqrt{\Delta}=2\sqrt{21}\)

\(|AC|=\frac{-6+2\sqrt{21}}{2}=\sqrt{21}-3\) (drugie rozwiązanie jest ujemne)

Sprawdzenie: \(\sqrt{21}-3\approx 1{,}58\lt 4\sqrt{3}\) ✓

Odpowiedź: \(|AC|=\sqrt{21}-3\)