LekcjeRazem

Krok 1. Suma sinusów.

Korzystamy ze wzoru \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\):

\(\sin(6x)+\sin(4x)=2\sin(5x)\cos(x)\)

Równanie przyjmuje postać:

\(2\sin(5x)\cos(x)+\sqrt{3}\sin(5x)=0\)

Krok 2. Rozkład na czynniki.

\(\sin(5x)\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)=0\)

Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem.

Krok 3. Pierwsze równanie.

\(\sin(5x)=0\Rightarrow 5x=k\pi\Rightarrow x=\frac{k\pi}{5}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\)

Krok 4. Drugie równanie.

\(2\cos x+\sqrt{3}=0\Rightarrow\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\)

Odpowiedź: \(x=\frac{k\pi}{5}\) lub \(x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), lub \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\)