LekcjeRazem

Krok 1. Uproszczenie mianowników.

Korzystamy z założenia \(a+b=1\):

\(2a+b=a+(a+b)=a+1\)

\(a+2b=(a+b)+b=b+1\)

Oznaczmy \(u=a+1\) oraz \(v=b+1\). Wtedy \(u\gt 1\), \(v\gt 1\) oraz:

\(u+v=a+b+2=3\)

Krok 2. Przekształcenie lewej strony.

\(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{u+v}{uv}=\frac{3}{uv}\)

Krok 3. Oszacowanie iloczynu \(uv\).

Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną (albo z oczywistej nierówności \((u-v)^2\ge 0\)):

\(uv\le\left(\frac{u+v}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)

Krok 4. Zakończenie dowodu.

Ponieważ \(uv\gt 0\) oraz \(uv\le\frac{9}{4}\), otrzymujemy:

\(\frac{3}{uv}\ge\frac{3}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{3}\)

Zatem \(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{a+2b}\ge\frac{4}{3}\), co należało wykazać. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(u=v\), czyli dla \(a=b=\frac{1}{2}\). \(\blacksquare\)