LekcjeRazem

Krok 1. Warunek opisania trapezu na okręgu.

W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe. Oznaczając długość ramienia przez \(c\) (trapez jest równoramienny):

\(a+b=c+c=2c\)

\(c=\frac{a+b}{2}\)

Krok 2. Wysokość trapezu.

Rzut ramienia na dłuższą podstawę ma długość \(\frac{a-b}{2}\). Z twierdzenia Pitagorasa:

\(h^2=c^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\)

\(h^2=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\frac{4ab}{4}=ab\)

\(h=\sqrt{ab}\)

Krok 3. Pole trapezu.

\(P=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{a+b}{2}\cdot\sqrt{ab}\)

Krok 4. Porównanie z \(ab\).

Ponieważ \(ab=\sqrt{ab}\cdot\sqrt{ab}\), wystarczy porównać \(\frac{a+b}{2}\) ze \(\sqrt{ab}\). Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, dla \(a\neq b\) (bo \(a\gt b\)) zachodzi nierówność ostra:

\(\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}\)

Mnożąc obie strony przez \(\sqrt{ab}\gt 0\):

\(\frac{a+b}{2}\cdot\sqrt{ab}\gt ab\)

czyli \(P\gt a\cdot b\), co należało wykazać. \(\blacksquare\)