Krok 1. Wykorzystanie własności czworokąta wpisanego w okrąg.
Przekątna \(AC\) dzieli czworokąt na trójkąty \(ABC\) i \(ACD\). Oznaczmy \(\alpha=|\angle ABC|\). W czworokącie wpisanym w okrąg przeciwległe kąty sumują się do \(180^\circ\), więc \(|\angle ADC|=180^\circ-\alpha\) i \(\cos|\angle ADC|=-\cos\alpha\).
Krok 2. Twierdzenie cosinusów w obu trójkątach.
W trójkącie \(ABC\) (boki \(3\) i \(3\)):
\(|AC|^2=3^2+3^2-2\cdot 3\cdot 3\cos\alpha=18-18\cos\alpha\)
W trójkącie \(ACD\) (boki \(5\) i \(8\)):
\(|AC|^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot(-\cos\alpha)=89+80\cos\alpha\)
Krok 3. Wyznaczenie \(\cos\alpha\) i \(|AC|\).
\(18-18\cos\alpha=89+80\cos\alpha\)
\(-71=98\cos\alpha\)
\(\cos\alpha=-\frac{71}{98}\)
\(|AC|^2=18-18\cdot\left(-\frac{71}{98}\right)=18+\frac{1278}{98}=\frac{1764+1278}{98}=\frac{3042}{98}=\frac{1521}{49}\)
\(|AC|=\frac{39}{7}\)
Krok 4. Twierdzenie sinusów.
\(\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{71}{98}\right)^2}=\frac{\sqrt{9604-5041}}{98}=\frac{\sqrt{4563}}{98}=\frac{39\sqrt{3}}{98}\)
(bo \(4563=27\cdot 169\), więc \(\sqrt{4563}=13\cdot 3\sqrt{3}=39\sqrt{3}\)).
Okrąg opisany na czworokącie jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie \(ABC\):
\(2R=\frac{|AC|}{\sin\alpha}=\frac{\frac{39}{7}}{\frac{39\sqrt{3}}{98}}=\frac{39}{7}\cdot\frac{98}{39\sqrt{3}}=\frac{14}{\sqrt{3}}\)
\(R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\)
Odpowiedź: \(R=\frac{7\sqrt{3}}{3}\)