LekcjeRazem

Krok 1. Suma cosinusów.

Korzystamy ze wzoru \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\):

\(\cos(2x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos(x)\)

Równanie przyjmuje postać:

\(2\cos(3x)\cos(x)+2\cos^2(3x)=0\)

Krok 2. Rozkład na czynniki.

\(2\cos(3x)\left[\cos(x)+\cos(3x)\right]=0\)

Ponownie stosujemy wzór na sumę cosinusów: \(\cos x+\cos 3x=2\cos(2x)\cos(x)\):

\(4\cos(3x)\cos(2x)\cos(x)=0\)

Krok 3. Rozwiązania w przedziale \([0,\pi]\).

\(\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\)

\(\cos(2x)=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right\}\)

\(\cos(3x)=0\Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right\}\)

Odpowiedź: \(x=\frac{\pi}{6}\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{3\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{6}\)