LekcjeRazem

Krok 1. Przekształcenie liczby \(b\).

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu:

\(b=\log_{\sqrt{2}}27=\frac{\log_2 27}{\log_2\sqrt{2}}=\frac{\log_2 27}{\frac{1}{2}}=2\log_2 27\)

Zatem:

\(b+2=2\log_2 27+2=2\left(\log_2 27+1\right)=2\left(\log_2 27+\log_2 2\right)=2\log_2 54\)

Krok 2. Przekształcenie liczby \(a\).

\(a=\log_2 14=\log_2(2\cdot 7)=\log_2 2+\log_2 7=1+\log_2 7\)

Zatem:

\(2a-2=2\left(1+\log_2 7\right)-2=2\log_2 7\)

Krok 3. Iloraz.

\(\frac{b+2}{2a-2}=\frac{2\log_2 54}{2\log_2 7}=\frac{\log_2 54}{\log_2 7}\)

Ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu \(\frac{\log_2 54}{\log_2 7}=\log_7 54\), co należało wykazać.

Uwaga: mianownik jest różny od zera, bo \(\log_2 7\neq 0\). \(\blacksquare\)