LekcjeRazem

a) Sprowadzamy wzór do postaci jednej funkcji trygonometrycznej:

\(f(x)=2\left(\tfrac12\cos x-\tfrac{\sqrt3}{2}\sin x\right)=2\left(\cos x\cos\tfrac{\pi}{3}-\sin x\sin\tfrac{\pi}{3}\right)=2\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)\).

Wykresem jest więc kosinusoida o amplitudzie \(2\) i okresie \(2\pi\), przesunięta o \(\tfrac{\pi}{3}\) w lewo; wartości należą do \(\langle-2,2\rangle\), a maksima wypadają w \(x=-\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\).

b) Równanie \(f(x)=1\) przyjmuje postać

\(2\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=1\), czyli \(\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac12\).

Stąd \(x+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\) lub \(x+\tfrac{\pi}{3}=-\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\), a więc

\(x=2k\pi\) lub \(x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.