LekcjeRazem

Wzór funkcji. Dla \(m\neq-2\) równanie jest kwadratowe, więc ze wzorów Viète'a

\(f(m)=x_1x_2=\dfrac{3m+2}{m+2}\).

Dziedzina. Równanie musi mieć dwa różne pierwiastki, czyli \(\Delta>0\):

\(\Delta=(m+2)^4-4(m+2)(3m+2)=(m+2)\bigl[(m+2)^3-4(3m+2)\bigr]\).

\((m+2)^3-12m-8=m^3+6m^2+12m+8-12m-8=m^3+6m^2=m^2(m+6)\),

zatem \(\Delta=m^2(m+2)(m+6)\).

Warunek \(\Delta>0\) oznacza \(m\neq0\) oraz \((m+2)(m+6)>0\), czyli \(m\lt -6\) lub \(m>-2\).

Uwzględniając założenie \(m\neq-2\) otrzymujemy

\(D_f=(-\infty,-6)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty)\).

Szkic wykresu. Przekształcamy wzór:

\(f(m)=\dfrac{3(m+2)-4}{m+2}=3-\dfrac{4}{m+2}\).

Jest to hiperbola o asymptotach \(m=-2\) (pionowa) i \(y=3\) (pozioma), powstała z wykresu \(y=-\tfrac4m\) przez przesunięcie o wektor \([-2,3]\). Rysujemy tylko te jej części, które odpowiadają dziedzinie: gałąź dla \(m\lt -6\) (bez punktu \(m=-6\), gdzie \(f(-6)=4\)) oraz gałąź dla \(m>-2\) z wyłączonym punktem \((0,1)\).