LekcjeRazem

Krok 1. Przeniesienie na jedną stronę.

$$a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}\ge0.$$

Krok 2. Grupowanie. Łączymy wyrazy z $a^{2}$ oraz z $b^{2}$:

$$\left(a^{3}-a^{2}b\right)+\left(b^{3}-ab^{2}\right)=a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b).$$

$$=(a-b)\left(a^{2}-b^{2}\right).$$

Krok 3. Dalszy rozkład. Drugi nawias to różnica kwadratów:

$$(a-b)(a-b)(a+b)=(a-b)^{2}(a+b).$$

Krok 4. Uzasadnienie znaku. Czynnik $(a-b)^{2}$ jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a $a+b\ge0$ z założenia. Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest nieujemny, więc

$$(a-b)^{2}(a+b)\ge0,$$

co jest równoważne tezie. $\blacksquare$

Kiedy zachodzi równość: gdy $a=b$ albo gdy $a+b=0$ (czyli $b=-a$).