LekcjeRazem

Krok 1. Wyrażenie $|PQ|^{2}$ przez $m$.

$$|PQ|^{2}=\left(\frac{m}{2}+\frac52-\frac{55}{2}\right)^{2}+(m-0)^{2}=\left(\frac{m}{2}-25\right)^{2}+m^{2}.$$

Krok 2. Uproszczenie.

$$\left(\frac{m}{2}-25\right)^{2}=\frac{m^{2}}{4}-25m+625,$$

$$f(m)=|PQ|^{2}=\frac{m^{2}}{4}-25m+625+m^{2}=\frac54m^{2}-25m+625.$$

Krok 3. Analiza funkcji kwadratowej. Współczynnik przy $m^{2}$ jest dodatni, a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi

$$m_w=\frac{25}{2\cdot\frac54}=\frac{25}{\frac52}=10.$$

Wierzchołek leży poza przedziałem $\langle-1,7\rangle$ (bo $10>7$), więc na całym tym przedziale funkcja jest malejąca.

Krok 4. Wartości na końcach przedziału.

$$f(7)=\frac54\cdot49-175+625=\frac{245}{4}+450=\frac{2045}{4}=511{,}25\quad(\text{najmniejsza}),$$

$$f(-1)=\frac54+25+625=\frac{5}{4}+650=\frac{2605}{4}=651{,}25\quad(\text{największa}).$$

Kontrola bezpośrednia: dla $m=7$ punkt $P=(6,7)$ i $|PQ|^{2}=21{,}5^{2}+7^{2}=511{,}25$ ✓; dla $m=-1$ punkt $P=(2,-1)$ i $|PQ|^{2}=25{,}5^{2}+1=651{,}25$ ✓

Odpowiedź: najmniejsza wartość $\frac{2045}{4}$, największa $\frac{2605}{4}$