Oznaczmy wysokość ostrosłupa przez $H=|AS|$ (krawędź $AS$ jest prostopadła do podstawy).
Krok 1. Gdzie mierzyć odległość. Niech $M$ będzie środkiem boku $BC$. W trójkącie równobocznym $AM\perp BC$ oraz
$$|AM|=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Ponadto $SA\perp BC$ (bo $SA$ jest prostopadła do całej podstawy). Skoro $BC$ jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych $AM$ i $SA$, to
$$BC\perp\text{płaszczyzna } SAM.$$
Wynika stąd, że odległość punktu $A$ od ściany $BCS$ równa się odległości $A$ od prostej $SM$ mierzonej w trójkącie $SAM$.
Krok 2. Wysokość w trójkącie prostokątnym. Trójkąt $SAM$ ma kąt prosty przy $A$, o przyprostokątnych $H$ i $\frac{a\sqrt3}{2}$. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną:
$$d=\frac{H\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{H^{2}+\frac{3a^{2}}{4}}}.$$
Krok 3. Wyznaczenie $H$. Podnosimy do kwadratu i porządkujemy:
$$d^{2}\left(H^{2}+\frac{3a^{2}}{4}\right)=\frac{3a^{2}}{4}H^{2}\ \Longrightarrow\ H^{2}\left(\frac{3a^{2}}{4}-d^{2}\right)=\frac{3a^{2}}{4}d^{2},$$
$$H^{2}=\frac{3a^{2}d^{2}}{3a^{2}-4d^{2}}\ \Longrightarrow\ H=\frac{a\,d\sqrt{3}}{\sqrt{3a^{2}-4d^{2}}}.$$
Warunek istnienia: $3a^{2}>4d^{2}$, czyli $d\lt \frac{a\sqrt3}{2}=|AM|$ — odległość od ściany musi być mniejsza niż wysokość podstawy.
Krok 4. Objętość. Pole podstawy to $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$:
$$V=\frac13\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\,d\sqrt{3}}{\sqrt{3a^{2}-4d^{2}}}=\frac{3a^{3}d}{12\sqrt{3a^{2}-4d^{2}}}=\frac{a^{3}d}{4\sqrt{3a^{2}-4d^{2}}}.$$
Kontrola liczbowa: dla $a=2$ i $H=2$ mamy $d=\frac{2\sqrt3}{\sqrt7}\approx1{,}309$; wzór daje $V\approx1{,}1545$, a bezpośrednio $V=\frac13\cdot\sqrt3\cdot2\approx1{,}1547$ ✓
Odpowiedź: $V=\frac{a^{3}d}{4\sqrt{3a^{2}-4d^{2}}}$