LekcjeRazem

Krok 1. Analiza zbioru. W zbiorze $Z$ mamy:

liczby parzyste: $2,\,4,\,6$ — jest ich $3$;
liczby nieparzyste: $1,\,3,\,5,\,7,\,9$ — jest ich $5$.

Krok 2. Wszystkie możliwe ciągi. Ciąg ośmiowyrazowy bez powtórzeń to permutacja ośmiu elementów:

$$|\Omega|=8!=40\,320.$$

Krok 3. Zdarzenia sprzyjające — metoda przerw. Najpierw ustawiamy w dowolnej kolejności $5$ liczb nieparzystych:

$$5!=120\ \text{sposobów}.$$

Takie ustawienie tworzy $6$ „przerw", w które można wstawić liczby parzyste (przed pierwszą liczbą, między kolejnymi oraz po ostatniej):

$$\_\ n_1\ \_\ n_2\ \_\ n_3\ \_\ n_4\ \_\ n_5\ \_$$

Aby żadne dwie liczby parzyste nie sąsiadowały, każda musi trafić do innej przerwy. Wybieramy $3$ przerwy z $6$ i rozmieszczamy w nich trzy różne liczby parzyste:

$$\binom{6}{3}\cdot 3!=20\cdot 6=120\ \text{sposobów}.$$

Krok 4. Liczba zdarzeń sprzyjających.

$$|A|=5!\cdot\binom{6}{3}\cdot 3!=120\cdot 20\cdot 6=14\,400.$$

Krok 5. Prawdopodobieństwo.

$$P(A)=\frac{14\,400}{40\,320}=\frac{5}{14}.$$

Sprawdzenie skrócenia: $14\,400\cdot 14=201\,600$ oraz $40\,320\cdot 5=201\,600$ ✓

Odpowiedź: $P=\frac{5}{14}$