LekcjeRazem

Krok 1. Wyznaczenie promienia $R$. Podstawiamy dane do wzoru na objętość:

$$\frac13\pi\cdot 10\cdot\left(6^{2}+6R+R^{2}\right)=840\pi.$$

Dzielimy obie strony przez $\pi$ i mnożymy przez $\frac{3}{10}$:

$$R^{2}+6R+36=252\ \Longrightarrow\ R^{2}+6R-216=0.$$

$$\Delta=36+864=900,\qquad \sqrt{\Delta}=30.$$

$$R=\frac{-6+30}{2}=12\qquad(\text{drugi pierwiastek }-18\text{ odrzucamy, bo }R>0).$$

Sprawdzenie: $\frac{10}{3}(36+72+144)=\frac{10}{3}\cdot252=840$ ✓ oraz $r=6\lt 12=R$ ✓

Krok 2. Przekrój osiowy. Przekrojem osiowym stożka ściętego jest trapez równoramienny o podstawach

$$2R=24\quad\text{(dolna)},\qquad 2r=12\quad\text{(górna)},$$

i wysokości $H=10$.

Krok 3. Rzut przekątnej na podstawę. Umieśćmy trapez w układzie współrzędnych: dolna podstawa od $(-12,0)$ do $(12,0)$, górna od $(-6,10)$ do $(6,10)$. Przekątna łączy $(-12,0)$ z $(6,10)$, więc jej rzut poziomy wynosi

$$\Delta x=6-(-12)=18,$$

a rzut pionowy to $\Delta y=10$.

Krok 4. Długość przekątnej.

$$d=\sqrt{18^{2}+10^{2}}=\sqrt{324+100}=\sqrt{424}=2\sqrt{106}.$$

Krok 5. Cosinus kąta nachylenia. Kąt $\alpha$ między przekątną a podstawą jest kątem w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej $18$ i przeciwprostokątnej $d$:

$$\cos\alpha=\frac{18}{2\sqrt{106}}=\frac{9}{\sqrt{106}}=\frac{9\sqrt{106}}{106}\approx 0{,}874.$$

Uwaga: podstawy są równoległe, więc kąt nachylenia przekątnej do górnej podstawy jest taki sam (kąty naprzemianległe).

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac{9\sqrt{106}}{106}$