Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Kombinatoryka — reguły zliczania
- Reguła mnożenia: Jeśli zdarzenie A można wykonać na $m$ sposobów i niezależnie zdarzenie B na $n$ sposobów, to oba łącznie na $m \cdot n$ sposobów.
- Reguła dodawania: Jeśli A można wykonać na $m$ sposobów LUB B na $n$ sposobów (wykluczają się), to łącznie na $m + n$ sposobów.
Kombinacja: $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ (wybór $k$ z $n$ bez kolejności)
Wariacja (bez pow.): $V_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ (wybór $k$ z $n$ z kolejnością)
Kombinatoryka
Reguły podstawowe
Reguła mnożenia: jeśli wybór składa się z $k$ niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy. Reguła dodawania: jeśli wybór to jeden z rozłącznych przypadków, liczby możliwości dodajemy.
Cztery podstawowe schematy
$$P_n=n! \qquad\text{— permutacje (ustawienie wszystkich } n \text{ elementów)}$$
$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \qquad\text{— wariacje bez powtórzeń}$$
$$\overline{V}_n^k=n^k \qquad\text{— wariacje z powtórzeniami}$$
$$C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \qquad\text{— kombinacje}$$
Jak wybrać schemat
Zadaj dwa pytania:
- Czy kolejność ma znaczenie? Tak → wariacje/permutacje. Nie → kombinacje.
- Czy elementy mogą się powtarzać? Tak → wariacje z powtórzeniami.
Przykład: „delegacja 3-osobowa z 5 osób” — kolejność nieistotna, więc $\binom53=10$. „Przewodniczący, zastępca, sekretarz z 5 osób” — kolejność istotna, więc $5\cdot4\cdot3=60$.
Symbol Newtona
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},\qquad \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$$
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$
Współczynniki tworzą kolejne wiersze trójkąta Pascala. Suma wykładników w każdym składniku zawsze wynosi $n$ — to szybki test poprawności.
Na co uważać
Przyjmujemy $0!=1$. Mylenie kombinacji z wariacjami to najczęstszy błąd — zawsze zacznij od pytania o kolejność.
Permutacje i silnia
Silnia: $n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$; $0!=1$; $1!=1$.
Permutacja: liczba porządków $n$ różnych elementów: $P_n=n!$
Permutacja $k$-elementowa (wariacja bez powtórzeń): $V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ — wybieramy $k$ z $n$ i ustawiamy w kolejności.
Permutacje z powtórzeniami: $n$ elementów, gdzie $n_1$ jednakich, $n_2$ jednakich,…: $P=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}$
Np. litery słowa ROWER: $\frac{5!}{2!}=60$ (R powtarza się 2 razy).
Ile różnych 3-cyfrowych kodów z cyfr $\{1,2,3,4,5\}$ bez powtórzeń? $V_5^3=\frac{5!}{2!}=60$.
Ile ustawień liter słowa MATEMATYKA? $\frac{10!}{3!\cdot2!\cdot2!}=75600$ (M×3, A×2, T×2).
Kolejność MA znaczenie → permutacje/wariacje. Wzór: ile jest kodów PIN? $10^4$ z powtórzeniami, $10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$ bez.
Kombinatoryka — permutacje, wariacje, kombinacje
Permutacje (kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń): $P_n = n!$
Wariacje z powtórzeniami: $W_n^k = n^k$
Wariacje bez powtórzeń: $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Kombinacje (kolejność nie ma znaczenia): $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Ile słów z liter A,B,C,D? $P_4 = 24$. Ile 2-literowych? $V_4^2 = 12$. Ile par? $\binom{4}{2}=6$.
PIN 4-cyfrowy (0-9): $10^4 = 10000$ możliwości.
Pytanie kluczowe: czy kolejność ma znaczenie? (tak → wariacja/permutacja; nie → kombinacja).
Prawdopodobieństwo i reguła mnożenia
Doświadczenie losowe
To doświadczenie, którego wyniku nie da się przewidzieć, np. rzut kostką. Zbiór wszystkich możliwych wyników oznaczamy $\Omega$, a interesujące nas wyniki tworzą zdarzenie $A$.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe:
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$$
Wynik zawsze mieści się w przedziale od $0$ (zdarzenie niemożliwe) do $1$ (zdarzenie pewne).
Przykład: rzut kostką, zdarzenie „liczba parzysta”: $P=\frac{3}{6}=\frac12$.
Reguła mnożenia
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy:
$$n=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Przykład: $3$ koszulki i $4$ spodnie dają $12$ zestawów.
Gdy elementy się nie powtarzają
Liczba możliwości maleje z każdym krokiem. Ustawienie $4$ osób w rzędzie to $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ sposoby, a nie $4^4$.
Na co uważać
Wzór klasyczny wymaga, by wyniki były równie prawdopodobne. Przy sumie oczek z dwóch kostek $|\Omega|=36$ (wszystkie pary), a nie $11$ (możliwe sumy) — bo suma $7$ wypada częściej niż $2$.
Reguła mnożenia i zliczanie możliwości
Reguła mnożenia
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Mając $3$ koszulki i $4$ pary spodni, ubierzemy się na $3\cdot4=12$ sposobów.
Mnożyć czy dodawać
Mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie).
Dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie — na przykład deser: albo jedno z $3$ ciast, albo jeden z $2$ lodów, czyli $3+2=5$ możliwości.
Wystarczy przeczytać treść i znaleźć spójnik.
Z powtórzeniami i bez
Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9\cdot9\cdot9=729$.
Liczby dwucyfrowe z cyfr $1,2,3,4$ bez powtórzeń: $4\cdot3=12$ — na drugiej pozycji zostaje o jedną możliwość mniej.
Zero na pierwszej pozycji
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest więc:
$$9\cdot9\cdot8=648$$
Pierwsza pozycja: $9$ możliwości (bez zera). Druga: znowu $9$, bo zero wraca do gry, ale jedna cyfra jest zużyta. Trzecia: $8$.
Zaczynaj od najostrzejszego warunku
Szukając liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach, zaczynamy od końca:
$$5\cdot8\cdot8=320$$
Ostatnia cyfra: $5$ możliwości (nieparzyste). Pierwsza: $8$ (bez zera i bez cyfry użytej na końcu). Środkowa: $8$. Gdybyśmy zaczęli od przodu, trzeba by rozbijać zadanie na przypadki.
Ustawienia w rzędzie
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1$$
Cztery książki ustawimy na $4!=24$ sposoby.
Prawdopodobieństwo klasyczne
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Przy dwóch kostkach wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$. Suma większa od $9$ zdarza się w $6$ przypadkach, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.
Kostki są rozróżnialne
Wyniki $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno — inaczej nie wszystkie zdarzenia byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.
Na co uważać
Nie dodawaj, gdy trzeba mnożyć. Pilnuj zakazu zera na pierwszej pozycji. I sprawdzaj, czy w zadaniu elementy mogą się powtarzać.
Reguła mnożenia, dodawania i wariacje z powtórzeniami
Reguła mnożenia
Gdy wybór składa się z niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$N=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Stosujemy ją, gdy wybieramy jedno i drugie.
Reguła dodawania
Gdy wybieramy jedną z rozłącznych grup możliwości (jedno albo drugie), liczby dodajemy. Np. książka fantasy albo kryminał: $6+4=10$.
Wariacje z powtórzeniami
Liczba $k$-elementowych ciągów ze zbioru $n$-elementowego (kolejność istotna, elementy mogą się powtarzać):
$$n^k$$
Podstawa to liczba dostępnych elementów, wykładnik — liczba pozycji.
Typowe zastosowania
Kody i PIN-y ($10^k$), ciągi binarne ($2^k$), tablice rejestracyjne, liczba funkcji ze zbioru $k$-elementowego w $n$-elementowy ($n^k$), liczba podzbiorów zbioru $n$-elementowego ($2^n$).
Zero na pierwszej pozycji
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem — trzeba to uwzględnić. Zaczynaj zliczanie od pozycji z najostrzejszym warunkiem.
Na co uważać
Mnożymy przy „i", dodajemy przy „albo". W $n^k$ nie zamień podstawy z wykładnikiem.
Permutacje (klasa 4 LO)
Definicja
Permutacja to uporządkowanie wszystkich elementów zbioru.
Liczba permutacji
$P_n=n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$; przyjmujemy $0!=1$.
Przykład
$5$ osób ustawimy w rzędzie na $5!=120$ sposobów.
Z powtórzeniami
Gdy elementy się powtarzają, dzielimy przez silnie liczności powtórzeń.
Wariacje bez powtórzeń (klasa 4 LO)
Definicja
Uporządkowany wybór $k$ różnych elementów z $n$-elementowego zbioru.
Wzór
$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)$.
Przykład
Przewodniczący i zastępca z $6$ osób: $6\cdot5=30$.
Kolejność
W wariacji kolejność ma znaczenie (inaczej niż w kombinacji).
Kombinatoryka — metody zliczania (klasa 4 LO)
Reguły
Reguła mnożenia (etapy „i") i dodawania (rozłączne „albo").
Permutacje i wariacje
$P_n=n!$, wariacje bez powtórzeń $\frac{n!}{(n-k)!}$.
Kombinacje
$\binom{n}{k}$ — wybór bez uwzględnienia kolejności.
Strategia
Ustal, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy się powtarzają.
Kombinatoryka i prawdopodobieństwo — powtórzenie (klasa 4 LO)
Zliczanie
Reguła mnożenia i dodawania; $P_n=n!$, $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Prawdopodobieństwo
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$; $P(A')=1-P(A)$.
Niezależność
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Bayes
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
11 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.