LekcjeRazem

Krok 1. Zwinięcie sumy sinusów. Korzystamy ze wzoru

$$\sin\gamma+\sin\delta=2\sin\frac{\gamma+\delta}{2}\cos\frac{\gamma-\delta}{2}.$$

Dla $\gamma=x-\frac{\pi}{3}$ i $\delta=x+\frac{\pi}{3}$ mamy $\frac{\gamma+\delta}{2}=x$ oraz $\frac{\gamma-\delta}{2}=-\frac{\pi}{3}$:

$$\sin\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=2\sin x\cos\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=2\sin x\cdot\tfrac12=\sin x.$$

Krok 2. Uproszczone równanie.

$$\cos x\cdot\sin x=\frac12\sin x.$$

Krok 3. Przeniesienie i wyłączenie czynnika.

$$\sin x\left(\cos x-\frac12\right)=0.$$

Krok 4. Rozwiązania.

$$\sin x=0\ \Longrightarrow\ x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z};$$

$$\cos x=\frac12\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \ \text{lub}\ \ x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Uwaga: warto zauważyć, że nie wolno tu dzielić obu stron przez $\sin x$ — stracilibyśmy rozwiązania $x=k\pi$.

Odpowiedź: $x=k\pi$ lub $x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$