LekcjeRazem

Krok 1. Warunek podzielności przez $(x-2)$. Z twierdzenia o reszcie $W(2)=0$:

$$2\cdot8+\left(m^{3}+2\right)\cdot4-22-2(2m+1)=0,$$

$$16+4m^{3}+8-22-4m-2=0\ \Longrightarrow\ 4m^{3}-4m=0.$$

$$4m\left(m^{2}-1\right)=0\ \Longrightarrow\ m\in\{-1,\ 0,\ 1\}.$$

Krok 2. Warunek reszty przy dzieleniu przez $(x+1)$. $W(-1)=6$:

$$-2+\left(m^{3}+2\right)+11-2(2m+1)=6,$$

$$m^{3}-4m+9=6\ \Longrightarrow\ m^{3}-4m+3=0.$$

Krok 3. Wspólne rozwiązanie. Sprawdzamy kandydatów z Kroku 1:

dla $m=-1$: $-1+4+3=6\neq0$;   dla $m=0$: $3\neq0$;   dla $m=1$: $1-4+3=0$ ✓

$$m=1.$$

Krok 4. Postać wielomianu. Podstawiamy $m=1$:

$$W(x)=2x^{3}+3x^{2}-11x-6.$$

Krok 5. Rozkład na czynniki. Wiemy, że $(x-2)$ jest dzielnikiem. Po podzieleniu:

$$W(x)=(x-2)\left(2x^{2}+7x+3\right)=(x-2)(2x+1)(x+3).$$

Miejsca zerowe: $x=-3$, $x=-\frac12$, $x=2$.

Krok 6. Analiza znaku. Współczynnik wiodący jest dodatni, więc idąc od prawej znaki to $+,\,-,\,+,\,-$. Wielomian jest niedodatni na

$$x\in(-\infty,\ -3]\cup\left[-\frac12,\ 2\right].$$

Kontrola: $W(-1)=-2+3+11-6=6>0$ — zgadza się z resztą podaną w treści, a punkt $x=-1$ leży w przedziale, gdzie wielomian jest dodatni ✓

Odpowiedź: $m=1$, $\;x\in(-\infty,-3]\cup\left[-\frac12,2\right]$