LekcjeRazem

Krok 1. Wzory Viète'a.

$$x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{4}=\frac{m+1}{2},\qquad x_1x_2=\frac{m}{4}.$$

Krok 2. Dwa różne pierwiastki.

$$\Delta=4(m+1)^{2}-16m=4\left(m^{2}-2m+1\right)=4(m-1)^{2}.$$

$$\Delta>0\ \Longleftrightarrow\ (m-1)^{2}>0\ \Longleftrightarrow\ m\neq 1.$$

Krok 3. Pierwiastki różne od zera. Iloczyn $x_1x_2=\frac{m}{4}$ musi być niezerowy, więc $m\neq 0$.

Krok 4. Przekształcenie nierówności. Oznaczmy $S=x_1+x_2$, $P=x_1x_2$. Wtedy

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{S}{P},$$

a warunek przyjmuje postać

$$S\le\frac{S}{P}\ \Longleftrightarrow\ S-\frac{S}{P}\le 0\ \Longleftrightarrow\ \frac{S(P-1)}{P}\le 0.$$

Krok 5. Podstawienie. $S=\frac{m+1}{2}$, $P=\frac{m}{4}$, $P-1=\frac{m-4}{4}$:

$$\frac{\frac{m+1}{2}\cdot\frac{m-4}{4}}{\frac{m}{4}}=\frac{(m+1)(m-4)}{2m}\le 0.$$

Mnożąc przez $2m^{2}>0$ otrzymujemy równoważnie

$$m(m+1)(m-4)\le 0,\qquad m\neq 0.$$

Krok 6. Analiza znaku. Miejsca zerowe: $-1,\ 0,\ 4$; współczynnik wiodący dodatni. Iloczyn jest niedodatni na $(-\infty,-1]\cup(0,4]$ (punkt $0$ wykluczamy).

Krok 7. Uwzględnienie $m\neq1$.

$$m\in(-\infty,-1]\cup(0,1)\cup(1,4].$$

Kontrola: dla $m=2$ trójmian $4x^{2}-6x+2$ ma pierwiastki $\tfrac12$ i $1$; $S=1{,}5\le 3=\tfrac{1}{x_1}+\tfrac{1}{x_2}$ ✓. Dla $m=5$ pierwiastki $\tfrac12$ i $\tfrac52$, $S=3>2{,}4$ — warunek niespełniony, zgodnie z wykluczeniem.

Odpowiedź: $m\in(-\infty,-1]\cup(0,1)\cup(1,4]$