LekcjeRazem

Krok 1. Równanie prostej $AB$. Współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{15-(-6)}{5-8}=\frac{21}{-3}=-7.$$

Korzystamy z punktu $A=(8,-6)$:

$$y+6=-7(x-8)\ \Longrightarrow\ y=-7x+50\ \Longrightarrow\ 7x+y-50=0.$$

Krok 2. Promień = odległość środka od prostej. Prosta jest styczna, więc promień równa się odległości $O$ od $AB$:

$$r=\frac{|7\cdot0+1\cdot0-50|}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}=\frac{50}{\sqrt{50}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$

Krok 3. Punkt styczności. Punkt styczności $T$ to spodek prostopadłej poprowadzonej z $O$ do prostej $AB$. Prosta prostopadła do $AB$ przechodząca przez $O$ ma współczynnik kierunkowy $\frac{1}{7}$ (iloczyn współczynników prostych prostopadłych wynosi $-1$), czyli

$$y=\frac{1}{7}x.$$

Podstawiamy do równania prostej $AB$:

$$7x+\frac{1}{7}x-50=0\ \Big|\cdot 7\ \Longrightarrow\ 49x+x-350=0\ \Longrightarrow\ 50x=350\ \Longrightarrow\ x=7.$$

$$y=\frac{1}{7}\cdot 7=1.$$

$$T=(7,\,1).$$

Sprawdzenie: $7\cdot7+1-50=0$, więc $T$ leży na prostej $AB$; ponadto $|OT|=\sqrt{7^{2}+1^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}=r$.

Odpowiedź: $r=5\sqrt{2}$,   $T=(7,1)$