Krok 1. Układ współrzędnych. Bez straty ogólności przyjmijmy bok długości $3$, wtedy $|BD|=|AE|=1$. Umieśćmy trójkąt tak, że
$$A=(0,0),\qquad B=(3,0),\qquad C=\left(\tfrac32,\ \tfrac32\sqrt3\right).$$
Punkt $D$ leży na $AB$ w odległości $1$ od $B$, więc $D=(2,0)$. Punkt $E$ leży na $AC$ w odległości $1$ od $A$, czyli $E=\tfrac13 C=\left(\tfrac12,\ \tfrac12\sqrt3\right)$.
Krok 2. Wyznaczenie punktu $P$. Prostą $CD$ parametryzujemy $t\in\langle0,1\rangle$ (od $C$ do $D$):
$$x=\tfrac32+\tfrac12 t,\qquad y=\tfrac32\sqrt3\,(1-t).$$
Prostą $BE$ parametryzujemy $s$ (od $B$ do $E$):
$$x=3-\tfrac52 s,\qquad y=\tfrac12\sqrt3\,s.$$
Z porównania współrzędnych $y$: $\ \tfrac32(1-t)=\tfrac12 s$, czyli $s=3(1-t)$. Podstawiamy do równania na $x$:
$$\tfrac32+\tfrac12 t=3-\tfrac52\cdot 3(1-t)=-\tfrac92+\tfrac{15}{2}t.$$
$$6=7t\ \Longrightarrow\ t=\frac{6}{7}.$$
Zatem $P=\left(\frac{27}{14},\ \frac{3\sqrt3}{14}\right)$.
Krok 3. Stosunek odcinków na prostej $CD$. Parametr $t$ liczony był od $C$, więc $|CP|:|CD|=\frac67$, a stąd
$$\frac{|DP|}{|DC|}=1-\frac67=\frac{1}{7}.$$
Krok 4. Dwa stosunki pól. Trójkąty $BDP$ i $BDC$ mają wspólny wierzchołek $B$, a ich podstawy $DP$ i $DC$ leżą na jednej prostej, więc
$$\frac{P_{BDP}}{P_{BDC}}=\frac{|DP|}{|DC|}=\frac{1}{7}.$$
Trójkąty $BDC$ i $ABC$ mają wspólny wierzchołek $C$, a podstawy $BD$ i $AB$ leżą na jednej prostej, więc
$$\frac{P_{BDC}}{P_{ABC}}=\frac{|BD|}{|AB|}=\frac{1}{3}.$$
Krok 5. Złożenie.
$$\frac{P_{DBP}}{P_{ABC}}=\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{21},$$
czyli pole trójkąta $DBP$ jest $21$ razy mniejsze od pola trójkąta $ABC$. $\blacksquare$
Kontrola rachunkowa: $P_{DBP}=\tfrac12\cdot|DB|\cdot y_P=\tfrac12\cdot1\cdot\tfrac{3\sqrt3}{14}=\tfrac{3\sqrt3}{28}$, a $P_{ABC}=\tfrac{3^2\sqrt3}{4}=\tfrac{9\sqrt3}{4}$. Iloraz: $\tfrac{9\sqrt3}{4}:\tfrac{3\sqrt3}{28}=21$.
