LekcjeRazem

Krok 1. Rozbicie liczby 18. Ponieważ $18=2\cdot 3^{2}$, korzystamy z własności logarytmu iloczynu i potęgi:

$$c=\log_{2}18=\log_{2}\left(2\cdot 3^{2}\right)=\log_{2}2+\log_{2}3^{2}=1+2\log_{2}3.$$

Krok 2. Wyznaczenie $\log_{2}3$.

$$2\log_{2}3=c-1\ \Longrightarrow\ \log_{2}3=\frac{c-1}{2}.$$

Krok 3. Przejście do $\log_{3}4$. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy oraz $4=2^{2}$:

$$\log_{3}4=\log_{3}2^{2}=2\log_{3}2=\frac{2}{\log_{2}3}.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$\log_{3}4=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=\frac{4}{c-1},$$

co należało wykazać. $\blacksquare$

Uwaga: $\log_{2}3>0$, więc $c=1+2\log_{2}3>1$ i mianownik $c-1$ jest różny od zera.