LekcjeRazem

Krok 1. Warunki na pierwiastki. Ze wzorów Viète'a:

$$x_1+x_2=m+1,\qquad x_1x_2=m.$$

Aby oba pierwiastki były różne od zera, musi być $x_1x_2=m\neq 0$.

Wyróżnik: $\Delta=(m+1)^2-4m=(m-1)^2$. Dwa różne rozwiązania istnieją, gdy $\Delta>0$, czyli $m\neq 1$.

Uwaga: równanie rozkłada się na $(x-1)(x-m)=0$, więc jego pierwiastkami są $1$ oraz $m$ — to potwierdza oba warunki.

Krok 2. Przekształcenie warunku. Lewa strona:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{m+1}{m}.$$

Prawa strona:

$$\frac{1}{x_1^{2}}+\frac{1}{x_2^{2}}=\frac{x_1^{2}+x_2^{2}}{\left(x_1x_2\right)^{2}}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^{2}}=\frac{(m+1)^2-2m}{m^2}=\frac{m^2+1}{m^2}.$$

Krok 3. Równanie na $m$.

$$\frac{m+1}{m}+2=\frac{m^2+1}{m^2}\ \Big|\cdot m^2\ (m\neq0)$$

$$m(m+1)+2m^2=m^2+1\ \Longrightarrow\ 3m^2+m=m^2+1\ \Longrightarrow\ 2m^2+m-1=0.$$

$$(2m-1)(m+1)=0\ \Longrightarrow\ m=\frac{1}{2}\ \ \text{lub}\ \ m=-1.$$

Krok 4. Sprawdzenie warunków. Obie wartości spełniają $m\neq0$ oraz $m\neq1$.

Odpowiedź: $m=-1$ lub $m=\frac{1}{2}$