LekcjeRazem

Rozwiązanie

Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (nachylenia) oraz różne wyrazy wolne.

1. Krok 1 – Wyznaczamy współczynniki kierunkowe obu prostych.

   Prosta $k$: $y = (m-2)x + 5$ — współczynnik kierunkowy: $a_k = m - 2$

   Prosta $l$: $y = -4x + (m+3)$ — współczynnik kierunkowy: $a_l = -4$

2. Krok 2 – Warunek równoległości: równość współczynników kierunkowych.

   Przyrównujemy współczynniki kierunkowe:

   $$m - 2 = -4$$ $$m = -4 + 2$$ $$m = -2$$

3. Krok 3 – Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame (wyrazy wolne muszą być różne).

   Dla $m = -2$:

   • Wyraz wolny prostej $k$: $5$
   • Wyraz wolny prostej $l$: $m + 3 = -2 + 3 = 1$

   Ponieważ $5 \neq 1$, proste nie są tożsame — są rzeczywiście równoległe.

Analiza odpowiedzi

• A) $m = -4$ — Błędna. Dla $m = -4$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $-4 - 2 = -6 \neq -4$, więc proste mają różne nachylenia i nie są równoległe.
• B) $m = -2$ — Poprawna. Współczynniki kierunkowe są równe ($-4 = -4$), a wyrazy wolne różne ($5 \neq 1$), więc proste są równoległe.
• C) $m = 2$ — Błędna. Dla $m = 2$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $2 - 2 = 0 \neq -4$, więc proste nie są równoległe.
• D) $m = 5$ — Błędna. Dla $m = 5$ współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $5 - 2 = 3 \neq -4$, więc proste nie są równoległe.

Wynik końcowy: Proste $k$ i $l$ są równoległe, gdy $m = -2$.

Poprawna odpowiedź: B)