LekcjeRazem

Rozwiązujemy zadanie, analizując trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 11$, $|BC| = 12$ oraz $|\angle ABC| = 60°$.

Stwierdzenie 1: Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

1. Krok 1 – Obliczenie boku $AC$ z twierdzenia cosinusów.

   Bok $AC$ jest bokiem leżącym naprzeciwko kąta $\angle ABC = 60°$. Stosujemy twierdzenie cosinusów:

   $$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ABC)$$ $$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \cos 60°$$ $$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \cdot \frac{1}{2}$$ $$|AC|^2 = 265 - 132 = 133$$ $$|AC| = \sqrt{133}$$

2. Krok 2 – Porównanie długości boków.

   Mamy trzy boki:

   • $|AB| = 11$
   • $|BC| = 12$
   • $|AC| = \sqrt{133} \approx 11{,}53$

   Sprawdzamy, czy jakiekolwiek dwa boki są równe:

   • $|AB| = 11 \neq 12 = |BC|$
   • $|AB| = 11 \neq \sqrt{133} = |AC|$ (bo $11^2 = 121 \neq 133$)
   • $|BC| = 12 \neq \sqrt{133} = |AC|$ (bo $12^2 = 144 \neq 133$)

   Żadne dwa boki nie są równe, więc trójkąt nie jest równoramienny.

Odpowiedź: F (fałsz)

Stwierdzenie 2: Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$.

1. Krok 1 – Zastosowanie wzoru na pole trójkąta.

   Znamy dwa boki trójkąta ($|AB|$ i $|BC|$) oraz zawarty między nimi kąt $\angle ABC = 60°$. Korzystamy ze wzoru:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \sin(\angle ABC)$$

2. Krok 2 – Podstawienie wartości.

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60°$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 132 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 66 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 33\sqrt{3}$$

3. Krok 3 – Weryfikacja wyniku.

   Obliczona wartość pola wynosi dokładnie $33\sqrt{3}$, co zgadza się ze stwierdzeniem.

Odpowiedź: P (prawda)

Podsumowanie odpowiedzi:

1. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny — F
2. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$ — P