Rozwiązanie
-
Krok 1: Analiza trójkąta ABC
Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, gdzie $|AC| = |BC| = 4$ oraz $|AB| = 3$.
Podstawą jest bok $AB$, a ramionami są boki $AC$ i $BC$.
Boki trójkąta $ABC$ mają długości:
- $|AB| = 3$ (podstawa)
- $|BC| = 4$ (ramię)
- $|AC| = 4$ (ramię)
-
Krok 2: Ustalenie podobieństwa trójkątów
Trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne. Punkt $D$ leży na boku $BC$, między $B$ i $C$.
Ustalamy odpowiedniość wierzchołków: $ABC \sim BDA$.
Oznacza to odpowiedniość boków:
$$\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|DA|}{|BC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$
Czyli:
$$\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$
-
Krok 3: Weryfikacja kątów — sprawdzenie, czy podobieństwo jest możliwe
Przy odpowiedniości $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$ mamy:
$\angle ABC = \angle BDA$, $\angle BAC = \angle DBA$, $\angle ACB = \angle DAB$.
Kąt $\angle ABC$ jest kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego $ABC$, taki sam jak $\angle BAC$.
Kąt $\angle DBA = \angle ABD$ jest częścią kąta $\angle ABC$.
Kąt $\angle ABC$ musi być równy kątowi $\angle BDA$, a kąt $\angle DBA$ równy $\angle BAC = \angle ABC$.
Trójkąt $BDA$ ma kąt $\angle ABD$ wspólny z trójkątem $ABC$ (kąt przy wierzchołku $B$), więc wystarczy skorzystać z proporcji boków.
-
Krok 4: Obliczenie długości $|BD|$
Z proporcji podobnych trójkątów (przy odpowiedniości $ABC \sim BDA$):
$$\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$
Podstawiamy znane wartości $|AB| = 3$ i $|AC| = 4$:
$$\frac{|BD|}{3} = \frac{3}{4}$$
$$|BD| = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25$$
-
Krok 5: Sprawdzenie, czy punkt $D$ leży między $B$ i $C$
Skoro $|BD| = 2{,}25 < 4 = |BC|$, punkt $D$ rzeczywiście leży między $B$ i $C$. ✓
Ocena odpowiedzi
- A) $2$ — błędna; wynikałaby z niepoprawnej proporcji, np. $\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB| - 1}{|AC|}$, co nie ma uzasadnienia matematycznego.
- B) $2{,}25$ — poprawna; wynika bezpośrednio z proporcji podobnych trójkątów: $|BD| = \frac{|AB|^2}{|AC|} = \frac{9}{4} = 2{,}25$.
- C) $2{,}5$ — błędna; wartość $2{,}5 = \frac{|BC|}{|AB|} \cdot \frac{|AB|}{2}$ nie odpowiada żadnej poprawnej proporcji podobieństwa.
- D) $3$ — błędna; wartość $3 = |AB|$ sugerowałaby, że $|BD| = |AB|$, co nie wynika z warunków zadania.
Wynik końcowy: $|BD| = \dfrac{9}{4} = 2{,}25$, co odpowiada odpowiedzi B).
