Rozwiązanie
-
Krok 1: Zapisanie równania wyjściowego
Dana jest zależność:
$$\sqrt{3}\,\text{tg}\,\alpha = 2\sin\alpha$$
Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin\alpha > 0$ oraz $\cos\alpha > 0$.
-
Krok 2: Zamiana tangensa na sinusa i cosinusa
Korzystamy z definicji tangensa: $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Podstawiamy do równania:
$$\sqrt{3} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$$
-
Krok 3: Uproszczenie równania
Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, $\sin\alpha \neq 0$, możemy podzielić obie strony równania przez $\sin\alpha$:
$$\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2$$
-
Krok 4: Wyznaczenie wartości cosinusa
Mnożymy obie strony przez $\cos\alpha$ i dzielimy przez $2$:
$$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Sprawdzamy: $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2} > 0$ — zgodne z założeniem, że $\alpha$ jest kątem ostrym ($\alpha = 30°$).
-
Krok 5: Analiza odpowiedzi
Odpowiedź C) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — POPRAWNA. Wynika bezpośrednio z przeprowadzonych obliczeń: $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, co odpowiada kątowi $\alpha = 30°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,30° = \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 1$ oraz $2\sin 30° = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$ ✓
Odpowiedź A) $\dfrac{1}{2}$ — BŁĘDNA. Wartość $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ odpowiada kątowi $\alpha = 60°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,60° = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, natomiast $2\sin 60° = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Ponieważ $3 \neq \sqrt{3}$, ta wartość nie spełnia równania.
Odpowiedź B) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — BŁĘDNA. Wartość $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ odpowiada kątowi $\alpha = 45°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,45° = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$, natomiast $2\sin 45° = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Ponieważ $\sqrt{3} \neq \sqrt{2}$, ta wartość nie spełnia równania.
Odpowiedź D) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ — BŁĘDNA. Gdyby $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, to z naszego równania $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ wynika, że $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \neq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, więc ta wartość nie jest rozwiązaniem.
Wynik końcowy:
$$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Odpowiedź: C