LekcjeRazem

Dane: $P_0 = 100$ J/s, $P_t = 96{,}13$ J/s, $t = 5$ lat.

1. Krok 1 – Zależność mocy cieplnej od czasu

   Ponieważ moc cieplna jest wprost proporcjonalna do liczby jąder izotopu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$, a liczba jąder maleje wykładniczo, moc cieplna również maleje wykładniczo według wzoru:

   $$P(t) = P_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$

   gdzie $T$ jest szukanym czasem połowicznego rozpadu.

2. Krok 2 – Podstawienie danych

   Podstawiamy znane wartości:

   $$96{,}13 = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{T}}$$

   Dzielimy obie strony przez $100$:

   $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{T}} = \frac{96{,}13}{100} = 0{,}9613$$
3. Krok 3 – Wyznaczenie wykładnika za pomocą logarytmu

   Korzystamy ze wskazówki: jeśli $a^c = b$, to $c = \log_a b$. Przyjmując $a = \tfrac{1}{2}$, $b = 0{,}9613$:

   $$\frac{5}{T} = \log_{\frac{1}{2}} 0{,}9613$$

   Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu:

   $$\log_{\frac{1}{2}} 0{,}9613 = \frac{\log_{10} 0{,}9613}{\log_{10} \frac{1}{2}} = \frac{\log_{10} 0{,}9613}{\log_{10} 0{,}5}$$

   Obliczamy wartości logarytmów:

   • $\log_{10} 0{,}9613 \approx -0{,}01736$
   • $\log_{10} 0{,}5 \approx -0{,}30103$

   Zatem:

   $$\frac{5}{T} = \frac{-0{,}01736}{-0{,}30103} \approx 0{,}05766$$
4. Krok 4 – Obliczenie czasu połowicznego rozpadu $T$

   Z równania $\dfrac{5}{T} = 0{,}05766$ wyznaczamy $T$:

   $$T = \frac{5}{0{,}05766} \approx 86{,}72 \text{ lat}$$

   Zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących:

   $$\boxed{T \approx 87 \text{ lat}}$$

Sprawdzenie: Rzeczywisty czas połowicznego rozpadu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ wynosi ok. $87{,}7$ lat, co potwierdza poprawność obliczeń.

Wynik końcowy: Czas połowicznego rozpadu izotopu plutonu ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ wynosi $T \approx \mathbf{87 \text{ lat}}$.