LekcjeRazem

Krok 1 — kąt zewnętrzny. Przy każdym wierzchołku kąt zewnętrzny dopełnia wewnętrzny do $180^\circ$:

$$\text{zew}_i=180^\circ-\text{wew}_i$$

Krok 2 — sumujemy po czterech wierzchołkach:

$$\sum_{i=1}^{4}\text{zew}_i=4\cdot180^\circ-\sum_{i=1}^{4}\text{wew}_i$$

Krok 3 — podstawiamy sumę kątów wewnętrznych ($360^\circ$):

$$=720^\circ-360^\circ=360^\circ \qquad ∎$$

Uogólnienie. Suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$ — niezależnie od liczby boków, bo $n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=360^\circ$.

Sprawdzenie: dla kątów wewnętrznych $90^\circ$, $120^\circ$, $75^\circ$, $75^\circ$ zewnętrzne to $90^\circ$, $60^\circ$, $105^\circ$, $105^\circ$, a ich suma $360^\circ$ ✔