Każdy czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty, więc suma kątów to:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Suma kątów czworokąta to $360^\circ$:

$$360^\circ-(90^\circ+100^\circ+80^\circ)=360^\circ-270^\circ=90^\circ$$

Odpowiedź: $90^\circ$.

W czworokącie wypukłym każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy od $180^\circ$, a obie przekątne leżą wewnątrz figury.

W czworokącie wklęsłym jeden kąt przekracza $180^\circ$.

Odpowiedź: A. wszystkie kąty $<180^\circ$.

Dwa okręgi leżące na zewnątrz siebie (rozłączne) mają cztery wspólne styczne: dwie zewnętrzne i dwie wewnętrzne.

Odpowiedź: $4$.

Okręgi styczne zewnętrznie mają trzy wspólne styczne: dwie zewnętrzne i jedną w punkcie styczności.

Odpowiedź: D. $3$.

W trapezie kąty przy tym samym ramieniu są przy równoległych podstawach — sumują się do $180^\circ$ (kąty jednostronne):

$$x=180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

Odpowiedź: $110^\circ$.

Krok 1 — oznaczenia. Kąty to $x$, $2x$, $3x$, $4x$.

Krok 2 — suma:

$$x+2x+3x+4x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad 10x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$36^\circ,\quad 72^\circ,\quad 108^\circ,\quad 144^\circ$$

Sprawdzenie: $36+72+108+144=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$.

Krok 1 — porównujemy odległość środków z sumą promieni:

$$r_1+r_2=3+5=8,\qquad d=10$$

Krok 2 — wniosek. Skoro $d>r_1+r_2$ ($10>8$), okręgi są rozłączne zewnętrznie.

Krok 3 — liczba stycznych. Okręgi rozłączne zewnętrznie mają $4$ wspólne styczne.

Odpowiedź: $4$ styczne.

Okręgi przecinające się (w dwóch punktach) mają dwie wspólne styczne — obie zewnętrzne. Stycznych wewnętrznych nie ma, bo okręgi „zachodzą" na siebie.

Odpowiedź: B. $2$.

Krok 1 — oznaczenia. Trzy kąty to $x$, czwarty $x+30^\circ$.

Krok 2 — suma:

$$3x+(x+30^\circ)=360^\circ \quad\Rightarrow\quad 4x=330^\circ \quad\Rightarrow\quad x=82{,}5^\circ$$

Krok 3 — czwarty kąt:

$$82{,}5^\circ+30^\circ=112{,}5^\circ$$

Sprawdzenie: $3\cdot82{,}5+112{,}5=247{,}5+112{,}5=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: trzy po $82{,}5^\circ$ i jeden $112{,}5^\circ$.

Gdy jeden okrąg leży w całości wewnątrz drugiego (bez styczności), nie ma żadnej wspólnej stycznej — nie da się poprowadzić prostej dotykającej obu.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — podział. Przekątna czworokąta wypukłego dzieli go na dwa trójkąty.

Krok 2 — suma kątów każdego trójkąta to $180^\circ$.

Krok 3 — złożenie. Kąty obu trójkątów razem tworzą wszystkie kąty czworokąta:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Uogólnienie. Wielokąt o $n$ bokach dzieli się na $n-2$ trójkąty, więc suma jego kątów to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: suma wynosi $360^\circ$.

Krok 1 — styczność wewnętrzna. Odległość środków równa się różnicy promieni:

$$d=|r_1-r_2|=4-2=2$$

Krok 2 — liczba stycznych. Okręgi styczne wewnętrznie mają dokładnie jedną wspólną styczną — w punkcie styczności.

Odpowiedź: $d=2$, jedna wspólna styczna.

W równoległoboku kąty sąsiednie są kątami jednostronnymi przy równoległych bokach, więc się dopełniają:

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

Kąty przeciwległe są natomiast równe.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Pełna klasyfikacja (dla promieni $r_1$, $r_2$ i odległości środków $d$):

• rozłączne zewnętrznie ($d>r_1+r_2$): 4 styczne,
• styczne zewnętrznie ($d=r_1+r_2$): 3,
• przecinające się ($|r_1-r_2|2,
• styczne wewnętrznie ($d=|r_1-r_2|$): 1,
• jeden wewnątrz drugiego ($d<|r_1-r_2|$): 0.

Prawidłowość. Im „bliżej" okręgi, tym mniej wspólnych stycznych — od $4$ (osobno) do $0$ (jeden w drugim).

Odpowiedź: $4$, $3$, $2$, $1$ lub $0$ — jak wyżej.

Prostokąt ma wszystkie kąty proste ($90^\circ$), ale boki mogą być różne (dwa dłuższe i dwa krótsze).

Romb — odwrotnie: równe boki, ale kąty niekoniecznie.

Odpowiedź: B. prostokąt.

Krok 1 — wartości graniczne:

$$r_1+r_2=8,\qquad |r_1-r_2|=6-2=4$$

Krok 2 — porównanie z $d=4$:

$$d=|r_1-r_2|=4$$

Krok 3 — wniosek. Skoro odległość środków równa się różnicy promieni, okręgi są styczne wewnętrznie — mniejszy leży wewnątrz większego i dotyka go w jednym punkcie.

Krok 4 — liczba stycznych: jedna wspólna styczna.

Odpowiedź: styczne wewnętrznie, $1$ wspólna styczna.

Krok 1 — suma kątów czworokąta:

$$A+B+C+D=360^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy znane i $C=D$:

$$90^\circ+120^\circ+2C=360^\circ$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2C=150^\circ \quad\Rightarrow\quad C=75^\circ$$

Krok 4 — sprawdzenie wypukłości. Wszystkie kąty ($90^\circ$, $120^\circ$, $75^\circ$, $75^\circ$) są mniejsze od $180^\circ$, więc czworokąt jest wypukły ✔

Odpowiedź: $C=D=75^\circ$.

Krok 1 — model. Dla stycznej zewnętrznej odcinek między punktami styczności, linia środków i różnica promieni tworzą trójkąt prostokątny.

Krok 2 — długość stycznej zewnętrznej:

$$t=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}$$

Krok 3 — podstawiamy $d=25$, $r_1-r_2=3$:

$$t=\sqrt{25^2-3^2}=\sqrt{625-9}=\sqrt{616}=2\sqrt{154}\approx24{,}8$$

Uwaga. Dla stycznej zewnętrznej używamy różnicy promieni; dla wewnętrznej — sumy: $\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}$.

Odpowiedź: $t=2\sqrt{154}$.