LekcjeRazem

Krok 1 — podstawowe oszacowania. Dla każdej liczby zachodzi:

$$-|a|\le a\le|a|,\qquad -|b|\le b\le|b|$$

Krok 2 — dodajemy nierówności stronami:

$$-\bigl(|a|+|b|\bigr)\le a+b\le|a|+|b|$$

Krok 3 — interpretacja. Liczba $a+b$ mieści się między $-\bigl(|a|+|b|\bigr)$ a $|a|+|b|$, co jest dokładnie warunkiem:

$$|a+b|\le|a|+|b| \qquad ∎$$

Kiedy równość. Zachodzi ona dokładnie wtedy, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (lub któraś jest zerem). Gdy znaki są przeciwne, lewa strona jest wyraźnie mniejsza.

Sprawdzenie: dla $a=3$, $b=-5$: $|{-2}|=2$, a $3+5=8$, więc $2\le8$ ✔ (znaki przeciwne — nierówność ostra).