Wartość bezwzględna to odległość od zera, a w odległości $7$ leżą dwa punkty:

$$x=7 \quad\text{lub}\quad x=-7$$

Odpowiedź: C. $7$ i $-7$.

Krok 1 — rozbijamy na dwa przypadki:

$$x-3=5 \quad\text{lub}\quad x-3=-5$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdy:

$$x=8 \quad\text{lub}\quad x=-2$$

Interpretacja: szukamy liczb odległych o $5$ od punktu $3$ na osi — to $8$ (w prawo) i $-2$ (w lewo).

Odpowiedź: $x=8$ lub $x=-2$.

Warunek $|x|<4$ oznacza liczby odległe od zera o mniej niż $4$:

$$-4

Reguła: $|x|0$) daje przedział $(-a,\ a)$.

Odpowiedź: $x\in(-4,\ 4)$.

Warunek $|x|>3$ oznacza liczby odległe od zera o więcej niż $3$ — leżące na zewnątrz przedziału:

$$x<-3 \quad\text{lub}\quad x>3$$

Reguła: $|x|>a$ daje sumę dwóch przedziałów, a $|x|

Odpowiedź: D. $(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$.

Najpierw wykonujemy działanie w środku, potem bierzemy wartość bezwzględną:

$$|2-9|=|-7|=7$$

$$|-3-4|=|-7|=7$$

Odpowiedź: oba wynoszą $7$.

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna:

$$|x|\ge0$$

Nie może więc być równa $-2$. Równanie jest sprzeczne.

Zawsze sprawdzaj prawą stronę: gdy jest ujemna, równanie z wartością bezwzględną nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: B. brak rozwiązań.

Krok 1 — dwa przypadki:

$$2x-1=5 \quad\text{lub}\quad 2x-1=-5$$

Krok 2 — pierwszy przypadek:

$$2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 3 — drugi przypadek:

$$2x=-4 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $|2\cdot3-1|=5$ ✔, $|2\cdot(-2)-1|=|-5|=5$ ✔

Odpowiedź: $x=3$ lub $x=-2$.

Krok 1 — rozpisujemy warunek:

$$-3\le x-2\le3$$

Krok 2 — dodajemy $2$ do wszystkich części:

$$-1\le x\le5$$

$$x\in\langle-1,\ 5\rangle$$

Interpretacja: szukamy liczb odległych od $2$ o co najwyżej $3$ — to przedział o środku $2$ i promieniu $3$.

Odpowiedź: $x\in\langle-1,\ 5\rangle$.

Wyrażenie $|x-a|$ to odległość między punktami $x$ i $a$ na osi liczbowej:

$$|x-5|=\text{odległość między } x \text{ a } 5$$

To geometryczna interpretacja wartości bezwzględnej — bardzo pomocna przy nierównościach.

Odpowiedź: A. $5$.

Krok 1 — rozbijamy na dwa warunki:

$$x+1>2 \quad\text{lub}\quad x+1<-2$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdy:

$$x>1 \quad\text{lub}\quad x<-3$$

Krok 3 — zapis:

$$x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$$

Uwaga: przy $|\ldots|>a$ warunki łączymy spójnikiem „lub” (suma przedziałów), a nie „i”.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$.

Wartość bezwzględna jest zerem tylko dla jednego argumentu:

$$x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Przypadek graniczny: gdy prawa strona to zero, oba „przypadki” dają to samo rozwiązanie — stąd tylko jedno.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — dwa przypadki wynikające z definicji.

Przypadek $x\ge0$: wtedy $|x|=x$:

$$x=x+2 \quad\Rightarrow\quad 0=2 \ \text{(sprzeczność)}$$

Brak rozwiązań w tym przypadku.

Przypadek $x<0$: wtedy $|x|=-x$:

$$-x=x+2 \quad\Rightarrow\quad -2x=2 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

Krok 2 — sprawdzamy założenie. $x=-1<0$ ✔, więc rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie: $|-1|=1$ oraz $-1+2=1$ ✔

Odpowiedź: $x=-1$.

Krok 1 — środek przedziału:

$$\frac{1+7}{2}=4$$

Krok 2 — promień (odległość od środka do krańca):

$$7-4=3$$

Krok 3 — zapisujemy. Liczby odległe od $4$ o co najwyżej $3$:

$$|x-4|\le3$$

Sprawdzenie: $|1-4|=3\le3$ ✔, $|7-4|=3\le3$ ✔

Ogólna zasada: przedział $\langle a,\ b\rangle$ zapisujemy jako $|x-\text{środek}|\le\text{promień}$.

Odpowiedź: $|x-4|\le3$.

Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna:

$$|x|\ge0$$

Ta nierówność zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej.

Uwaga: zachodzi też $|x|\ge x$ oraz $|x|\ge-x$, ale najbardziej podstawową i zawsze prawdziwą własnością jest $|x|\ge0$.

Odpowiedź: B. $0$.

Krok 1 — rozpisujemy:

$$-9\le3x\le9$$

Krok 2 — dzielimy przez $3$ (dodatnie, znak zostaje):

$$-3\le x\le3$$

$$x\in\langle-3,\ 3\rangle$$

Alternatywnie: $|3x|=3|x|$, więc $3|x|\le9$ daje $|x|\le3$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $x\in\langle-3,\ 3\rangle$.

Wartość bezwzględna nie może być ujemna, więc nie może być mniejsza od zera:

$$|x-5|\ge0 \quad\Rightarrow\quad |x-5|<0 \ \text{niemożliwe}$$

Uwaga na wariant: $|x-5|\le0$ miałoby jedno rozwiązanie ($x=5$), ale ostra nierówność $<0$ — żadnego.

Odpowiedź: A. brak rozwiązań.

Krok 1 — punkty zerowania modułów: $x=1$ oraz $x=-2$. Dzielą oś na trzy przedziały.

Przypadek $x<-2$: oba wyrażenia ujemne pod modułem:

$$-(x-1)-(x+2)=5 \quad\Rightarrow\quad -2x-1=5 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

$-3<-2$ ✔

Przypadek $-2\le x\le1$:

$$-(x-1)+(x+2)=5 \quad\Rightarrow\quad 3=5 \ \text{(sprzeczność)}$$

Brak rozwiązań.

Przypadek $x>1$:

$$(x-1)+(x+2)=5 \quad\Rightarrow\quad 2x+1=5 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

$2>1$ ✔

Interpretacja. Szukamy punktów, których łączna odległość od $1$ i od $-2$ wynosi $5$. Ponieważ same punkty $1$ i $-2$ są oddalone o $3$, rozwiązania leżą po $1$ jednostce na zewnątrz z każdej strony.

Odpowiedź: $x=-3$ lub $x=2$.

Krok 1 — rozbijamy na dwa warunki:

$$2x-6\ge4 \quad\text{lub}\quad 2x-6\le-4$$

Krok 2 — pierwszy warunek:

$$2x\ge10 \quad\Rightarrow\quad x\ge5$$

Krok 3 — drugi warunek:

$$2x\le2 \quad\Rightarrow\quad x\le1$$

Krok 4 — łączymy (suma przedziałów):

$$x\in(-\infty,\ 1\rangle\cup\langle5,\ +\infty)$$

Sprawdzenie krańców: dla $x=5$: $|4|=4\ge4$ ✔; dla $x=1$: $|-4|=4\ge4$ ✔ — oba krańce należą (nierówność nieostra).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\ 1\rangle\cup\langle5,\ +\infty)$.