Wartość bezwzględna to odległość od zera, a w odległości $7$ leżą dwa punkty:

$$x=7 \quad\text{lub}\quad x=-7$$

Odpowiedź: C. $7$ i $-7$.

Krok 1 — rozbijamy na dwa przypadki:

$$x-3=5 \quad\text{lub}\quad x-3=-5$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdy:

$$x=8 \quad\text{lub}\quad x=-2$$

Interpretacja: szukamy liczb odległych o $5$ od punktu $3$ na osi — to $8$ (w prawo) i $-2$ (w lewo).

Odpowiedź: $x=8$ lub $x=-2$.

Warunek $|x|\lt 4$ oznacza liczby odległe od zera o mniej niż $4$:

$$-4\lt x\lt 4 \quad\Rightarrow\quad x\in(-4,\ 4)$$

Reguła: $|x|\lt a$ (dla $a>0$) daje przedział $(-a,\ a)$.

Odpowiedź: $x\in(-4,\ 4)$.

Warunek $|x|>3$ oznacza liczby odległe od zera o więcej niż $3$ — leżące na zewnątrz przedziału:

$$x\lt -3 \quad\text{lub}\quad x>3$$

Reguła: $|x|>a$ daje sumę dwóch przedziałów, a $|x|\lt a$ — jeden przedział. Łatwo je pomylić.

Odpowiedź: D. $(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$.

Najpierw wykonujemy działanie w środku, potem bierzemy wartość bezwzględną:

$$|2-9|=|-7|=7$$

$$|-3-4|=|-7|=7$$

Odpowiedź: oba wynoszą $7$.

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna:

$$|x|\ge0$$

Nie może więc być równa $-2$. Równanie jest sprzeczne.

Zawsze sprawdzaj prawą stronę: gdy jest ujemna, równanie z wartością bezwzględną nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: B. brak rozwiązań.

Krok 1 — dwa przypadki:

$$2x-1=5 \quad\text{lub}\quad 2x-1=-5$$

Krok 2 — pierwszy przypadek:

$$2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 3 — drugi przypadek:

$$2x=-4 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $|2\cdot3-1|=5$ ✔, $|2\cdot(-2)-1|=|-5|=5$ ✔

Odpowiedź: $x=3$ lub $x=-2$.

Krok 1 — rozpisujemy warunek:

$$-3\le x-2\le3$$

Krok 2 — dodajemy $2$ do wszystkich części:

$$-1\le x\le5$$

$$x\in\langle-1,\ 5\rangle$$

Interpretacja: szukamy liczb odległych od $2$ o co najwyżej $3$ — to przedział o środku $2$ i promieniu $3$.

Odpowiedź: $x\in\langle-1,\ 5\rangle$.

Wyrażenie $|x-a|$ to odległość między punktami $x$ i $a$ na osi liczbowej:

$$|x-5|=\text{odległość między } x \text{ a } 5$$

To geometryczna interpretacja wartości bezwzględnej — bardzo pomocna przy nierównościach.

Odpowiedź: A. $5$.

Krok 1 — rozbijamy na dwa warunki:

$$x+1>2 \quad\text{lub}\quad x+1\lt -2$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdy:

$$x>1 \quad\text{lub}\quad x\lt -3$$

Krok 3 — zapis:

$$x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$$

Uwaga: przy $|\ldots|>a$ warunki łączymy spójnikiem „lub” (suma przedziałów), a nie „i”.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$.

Wartość bezwzględna jest zerem tylko dla jednego argumentu:

$$x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Przypadek graniczny: gdy prawa strona to zero, oba „przypadki” dają to samo rozwiązanie — stąd tylko jedno.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — dwa przypadki wynikające z definicji.

Przypadek $x\ge0$: wtedy $|x|=x$:

$$x=x+2 \quad\Rightarrow\quad 0=2 \ \text{(sprzeczność)}$$

Brak rozwiązań w tym przypadku.

Przypadek $x\lt 0$: wtedy $|x|=-x$:

$$-x=x+2 \quad\Rightarrow\quad -2x=2 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

Krok 2 — sprawdzamy założenie. $x=-1\lt 0$ ✔, więc rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie: $|-1|=1$ oraz $-1+2=1$ ✔

Odpowiedź: $x=-1$.

Krok 1 — środek przedziału:

$$\frac{1+7}{2}=4$$

Krok 2 — promień (odległość od środka do krańca):

$$7-4=3$$

Krok 3 — zapisujemy. Liczby odległe od $4$ o co najwyżej $3$:

$$|x-4|\le3$$

Sprawdzenie: $|1-4|=3\le3$ ✔, $|7-4|=3\le3$ ✔

Ogólna zasada: przedział $\langle a,\ b\rangle$ zapisujemy jako $|x-\text{środek}|\le\text{promień}$.

Odpowiedź: $|x-4|\le3$.

Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna:

$$|x|\ge0$$

Ta nierówność zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej.

Uwaga: zachodzi też $|x|\ge x$ oraz $|x|\ge-x$, ale najbardziej podstawową i zawsze prawdziwą własnością jest $|x|\ge0$.

Odpowiedź: B. $0$.

Krok 1 — rozpisujemy:

$$-9\le3x\le9$$

Krok 2 — dzielimy przez $3$ (dodatnie, znak zostaje):

$$-3\le x\le3$$

$$x\in\langle-3,\ 3\rangle$$

Alternatywnie: $|3x|=3|x|$, więc $3|x|\le9$ daje $|x|\le3$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $x\in\langle-3,\ 3\rangle$.

Wartość bezwzględna nie może być ujemna, więc nie może być mniejsza od zera:

$$|x-5|\ge0 \quad\Rightarrow\quad |x-5|\lt 0 \ \text{niemożliwe}$$

Uwaga na wariant: $|x-5|\le0$ miałoby jedno rozwiązanie ($x=5$), ale ostra nierówność $\lt 0$ — żadnego.

Odpowiedź: A. brak rozwiązań.

Krok 1 — punkty zerowania modułów: $x=1$ oraz $x=-2$. Dzielą oś na trzy przedziały.

Przypadek $x\lt -2$: oba wyrażenia ujemne pod modułem:

$$-(x-1)-(x+2)=5 \quad\Rightarrow\quad -2x-1=5 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

$-3\lt -2$ ✔

Przypadek $-2\le x\le1$:

$$-(x-1)+(x+2)=5 \quad\Rightarrow\quad 3=5 \ \text{(sprzeczność)}$$

Brak rozwiązań.

Przypadek $x>1$:

$$(x-1)+(x+2)=5 \quad\Rightarrow\quad 2x+1=5 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

$2>1$ ✔

Interpretacja. Szukamy punktów, których łączna odległość od $1$ i od $-2$ wynosi $5$. Ponieważ same punkty $1$ i $-2$ są oddalone o $3$, rozwiązania leżą po $1$ jednostce na zewnątrz z każdej strony.

Odpowiedź: $x=-3$ lub $x=2$.

Krok 1 — rozbijamy na dwa warunki:

$$2x-6\ge4 \quad\text{lub}\quad 2x-6\le-4$$

Krok 2 — pierwszy warunek:

$$2x\ge10 \quad\Rightarrow\quad x\ge5$$

Krok 3 — drugi warunek:

$$2x\le2 \quad\Rightarrow\quad x\le1$$

Krok 4 — łączymy (suma przedziałów):

$$x\in(-\infty,\ 1\rangle\cup\langle5,\ +\infty)$$

Sprawdzenie krańców: dla $x=5$: $|4|=4\ge4$ ✔; dla $x=1$: $|-4|=4\ge4$ ✔ — oba krańce należą (nierówność nieostra).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\ 1\rangle\cup\langle5,\ +\infty)$.

Interpretacja geometryczna. Szukamy punktów jednakowo oddalonych od $3$ i od $-1$ — to środek odcinka między nimi:

$$x=\frac{3+(-1)}{2}=1$$

Sposób rachunkowy. Podnosimy obie strony do kwadratu (obie nieujemne):

$$(x-3)^2=(x+1)^2$$

$$x^2-6x+9=x^2+2x+1$$

$$-6x+9=2x+1 \quad\Rightarrow\quad 8=8x \quad\Rightarrow\quad x=1$$

Sprawdzenie: $|1-3|=2$ oraz $|1+1|=2$ ✔

Wniosek. Oba sposoby dają $x=1$. Podnoszenie do kwadratu usuwa moduły, bo obie strony są nieujemne — to legalne przekształcenie równoważne.

Krok 1 — podstawowe oszacowania. Dla każdej liczby zachodzi:

$$-|a|\le a\le|a|,\qquad -|b|\le b\le|b|$$

Krok 2 — dodajemy nierówności stronami:

$$-\bigl(|a|+|b|\bigr)\le a+b\le|a|+|b|$$

Krok 3 — interpretacja. Liczba $a+b$ mieści się między $-\bigl(|a|+|b|\bigr)$ a $|a|+|b|$, co jest dokładnie warunkiem:

$$|a+b|\le|a|+|b| \qquad ∎$$

Kiedy równość. Zachodzi ona dokładnie wtedy, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (lub któraś jest zerem). Gdy znaki są przeciwne, lewa strona jest wyraźnie mniejsza.

Sprawdzenie: dla $a=3$, $b=-5$: $|{-2}|=2$, a $3+5=8$, więc $2\le8$ ✔ (znaki przeciwne — nierówność ostra).