LekcjeRazem

Krok 1 — definicja. Funkcja jest malejąca, gdy dla dowolnych $x_1f(x_2)$.

Krok 2 — bierzemy dowolne $0

$$f(x_1)-f(x_2)=\frac{a}{x_1}-\frac{a}{x_2}=a\cdot\frac{x_2-x_1}{x_1 x_2}$$

Krok 3 — badamy znak. Analizujemy każdy czynnik:

• $a>0$ — z założenia,
• $x_2-x_1>0$ — bo $x_1
• $x_1 x_2>0$ — bo oba argumenty dodatnie.

Krok 4 — wniosek. Cały iloczyn jest dodatni, więc:

$$f(x_1)-f(x_2)>0 \quad\Rightarrow\quad f(x_1)>f(x_2) \qquad ∎$$

Dla $x_1

Uwaga. Dowód działa tylko w jednym przedziale. Na $(-\infty,0)$ funkcja też jest malejąca, ale nie można łączyć obu przedziałów — między nimi jest asymptota.