Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy $x=0$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Odpowiedź: B. liczby rzeczywiste bez zera.

Podstawiamy kolejno:

$$f(3)=\frac63=2$$

$$f(-2)=\frac{6}{-2}=-3$$

Odpowiedź: $f(3)=2$, $f(-2)=-3$.

Wykres proporcjonalności odwrotnej $f(x)=\frac{a}{x}$ to hiperbola — krzywa złożona z dwóch gałęzi.

Położenie gałęzi: dla $a>0$ leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ w II i IV.

Odpowiedź: A. hiperbola.

Hiperbola $f(x)=\frac{a}{x}$ ma dwie asymptoty:

$$\text{pionowa: } x=0,\qquad \text{pozioma: } y=0$$

Interpretacja: gdy $x$ dąży do zera, wartości „uciekają” do nieskończoności (asymptota pionowa); gdy $x$ rośnie nieograniczenie, wartości zbliżają się do zera (asymptota pozioma).

Odpowiedź: $x=0$ oraz $y=0$.

Dla $a>0$ funkcja $f(x)=\frac{a}{x}$ jest malejąca — osobno na przedziale $(-\infty,0)$ i osobno na $(0,+\infty)$.

Ważne zastrzeżenie: nie jest malejąca „w całości” — między gałęziami następuje skok przez asymptotę. Mówimy o monotoniczności w każdym przedziale osobno.

Odpowiedź: C. malejąca.

Krok 1 — mianownik różny od zera:

$$x-3\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq3$$

Krok 2 — dziedzina:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Krok 1 — dziedzina. Mianownik zeruje się dla $x=2$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$$

Krok 2 — asymptota pionowa przechodzi przez punkt wykluczony z dziedziny:

$$x=2$$

Interpretacja: wykres funkcji $\frac1x$ przesunięto o $2$ jednostki w prawo, więc asymptota pionowa też przesunęła się z $x=0$ na $x=2$.

Odpowiedź: $x=2$, $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Dodanie liczby do całej funkcji przesuwa wykres w pionie:

$$f(x)=\frac{1}{x}+3 \ \Rightarrow\ \text{przesunięcie o } 3 \text{ w górę}$$

Skutek: asymptota pozioma przesuwa się z $y=0$ na $y=3$.

Dla porównania: $\frac{1}{x-3}$ przesuwałoby wykres poziomo (w prawo).

Odpowiedź: D. o $3$ w górę.

Obliczamy wartość funkcji w $x=2$:

$$f(2)=\frac{6}{2}=3$$

Wartość zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $P$ leży na wykresie.

Interpretacja: punkty hiperboli $\frac6x$ spełniają $x\cdot y=6$ — sprawdzenie: $2\cdot3=6$ ✔

Odpowiedź: tak, należy.

Krok 1 — podstawiamy współrzędne punktu:

$$5=\frac{a}{4}$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$a=20$$

Sprawdzenie: $f(x)=\frac{20}{x}$, a $f(4)=5$ ✔

Odpowiedź: $a=20$.

Dla $a\lt 0$ (tu $a=-4$) gałęzie leżą w II i IV ćwiartce.

W I ćwiartce (gdzie $x>0$ i $y>0$) gałęzi nie ma, bo dla $x>0$ wartość $\frac{-4}{x}$ jest ujemna.

Odpowiedź: B. I ćwiartka.

Krok 1 — asymptota pionowa. Mianownik zeruje się dla $x=2$:

$$x=2$$

Krok 2 — asymptota pozioma. Do funkcji dodano $3$, więc pozioma asymptota podniosła się:

$$y=3$$

Reguła. Funkcja $\frac{1}{x-p}+q$ to hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$ — asymptoty przesuwają się razem z nią.

Odpowiedź: $x=2$ oraz $y=3$.

Krok 1 — zastrzeżenie dziedziny: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $x$:

$$6=2x$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=3$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę. $3\neq0$, więc rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie: $\frac63=2$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Funkcja $\frac{2}{x}$ przyjmuje każdą wartość rzeczywistą oprócz zera — żaden argument nie daje wyniku $0$, bo licznik jest stały i różny od zera.

$$ZW=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Związek z asymptotą: wartość $y=0$ jest „nieosiągalna” — to właśnie asymptota pozioma.

Odpowiedź: A. $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$x\cdot y=24$$

Krok 2 — wyznaczamy $y$:

$$y=\frac{24}{x}$$

Krok 3 — rozpoznanie. To proporcjonalność odwrotna — funkcja postaci $\frac{a}{x}$, której wykresem jest hiperbola.

Interpretacja. Im dłuższy jeden bok, tym krótszy drugi, a ich iloczyn pozostaje stały. Dziedziną są tu tylko liczby dodatnie (bok nie może być ujemny).

Odpowiedź: $y=\frac{24}{x}$ — proporcjonalność odwrotna.

Sprawdzamy warunek nieparzystości:

$$f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$$

Warunek $f(-x)=-f(x)$ jest spełniony, więc funkcja jest nieparzysta.

Geometrycznie: wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych — obie gałęzie hiperboli są swoimi odbiciami przez punkt $(0,0)$.

Odpowiedź: C. nieparzystą.

Krok 1 — rozkładamy licznik tak, by pojawił się mianownik. Chcemy w liczniku wydzielić $2(x+1)$:

$$2x+1=2(x+1)-1$$

Krok 2 — dzielimy wyraz po wyrazie:

$$f(x)=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$$

Krok 3 — odczytujemy asymptoty. To hiperbola $-\frac1x$ przesunięta o wektor $[-1,\ 2]$:

$$\text{pionowa: } x=-1,\qquad \text{pozioma: } y=2$$

Metoda uniwersalna. Aby rozłożyć funkcję homograficzną, w liczniku „odtwarzamy” mianownik i dzielimy — to standardowy chwyt, który ujawnia postać przesuniętej hiperboli.

Odpowiedź: $f(x)=2-\frac{1}{x+1}$; asymptoty $x=-1$, $y=2$.

Krok 1 — zastrzeżenie dziedziny: $x\neq1$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $(x-1)$:

$$x+2=3(x-1)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x+2=3x-3 \quad\Rightarrow\quad 5=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac52$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę. $\frac52\neq1$, więc rozwiązanie jest dopuszczalne.

Sprawdzenie: $\frac{\frac52+2}{\frac52-1}=\frac{\frac92}{\frac32}=3$ ✔

Uwaga metodyczna. W równaniach wymiernych zawsze najpierw wypisujemy dziedzinę, a na końcu sprawdzamy, czy rozwiązanie do niej należy — inaczej można przyjąć pierwiastek „obcy”.

Odpowiedź: $x=\frac52$.

Krok 1 — wyznaczamy $a$:

$$6=\frac{a}{2} \quad\Rightarrow\quad a=12$$

Krok 2 — funkcja:

$$f(x)=\frac{12}{x}$$

Krok 3 — sprawdzamy punkt $(-3,\ -4)$:

$$f(-3)=\frac{12}{-3}=-4$$

Wartość zgadza się z drugą współrzędną, więc punkt leży na wykresie.

Szybsza kontrola. Na hiperboli $\frac{12}{x}$ iloczyn współrzędnych każdego punktu wynosi $12$: dla $(2,6)$ mamy $12$ ✔, dla $(-3,-4)$ też $12$ ✔

Odpowiedź: $a=12$; tak, punkt $(-3,-4)$ leży na wykresie.

Krok 1 — definicja. Funkcja jest malejąca, gdy dla dowolnych $x_1\lt x_2$ z rozważanego przedziału zachodzi $f(x_1)>f(x_2)$.

Krok 2 — bierzemy dowolne $0\lt x_1\lt x_2$ i liczymy różnicę wartości:

$$f(x_1)-f(x_2)=\frac{a}{x_1}-\frac{a}{x_2}=a\cdot\frac{x_2-x_1}{x_1 x_2}$$

Krok 3 — badamy znak. Analizujemy każdy czynnik:

• $a>0$ — z założenia,
• $x_2-x_1>0$ — bo $x_1\lt x_2$,
• $x_1 x_2>0$ — bo oba argumenty dodatnie.

Krok 4 — wniosek. Cały iloczyn jest dodatni, więc:

$$f(x_1)-f(x_2)>0 \quad\Rightarrow\quad f(x_1)>f(x_2) \qquad ∎$$

Dla $x_1\lt x_2$ wartości maleją, więc funkcja jest malejąca w $(0,+\infty)$.

Uwaga. Dowód działa tylko w jednym przedziale. Na $(-\infty,0)$ funkcja też jest malejąca, ale nie można łączyć obu przedziałów — między nimi jest asymptota.