LekcjeRazem

Krok 1 — przenosimy wszystko na lewą stronę:

$$a^2-2ab+b^2\ge0$$

Krok 2 — rozpoznajemy kwadrat różnicy:

$$(a-b)^2\ge0 \qquad ∎$$

Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc nierówność zachodzi zawsze.

Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy $a-b=0$, czyli $a=b$.

Zastosowanie. Podstawiając $a=x$ i $b=\frac1x$ dla $x>0$, dostajemy:

$$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$$

Podobnie $x+\frac1x\ge2$ dla $x>0$ — najmniejsza wartość wynosi $2$ i jest osiągana dla $x=1$. Ta nierówność bywa potrzebna w zadaniach optymalizacyjnych, gdzie pozwala oszacować wynik bez liczenia pochodnej.

Sprawdzenie: dla $x=2$ mamy $2+0{,}5=2{,}5\ge2$ ✔; dla $x=1$ wychodzi dokładnie $2$ ✔