LekcjeRazem

Krok 1 — przekształcamy tezę. Obie strony są dodatnie, więc mnożenie przez $2$ nie zmienia zwrotu:

$$a+b\ge2\sqrt{ab}$$

Krok 2 — przenosimy na jedną stronę:

$$a-2\sqrt{ab}+b\ge0$$

Krok 3 — kluczowa obserwacja. Skoro $a$ i $b$ są dodatnie, możemy zapisać $a=\left(\sqrt{a}\right)^2$ oraz $b=\left(\sqrt{b}\right)^2$. Wtedy lewa strona to kwadrat różnicy:

$$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0 \qquad ∎$$

Kiedy równość: dokładnie gdy $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, czyli $a=b$.

Nazwa: to nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Sprawdzenie dla $a=2$, $b=8$: średnia arytmetyczna $5$, geometryczna $4$ ✔