LekcjeRazem

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Nas będzie interesować suma piętnastu wyrazów, więc podstawiamy \(n=15\):
$$S_{15}=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15$$

Wiemy, że \(S_{15}=-165\), zatem:
$$-165=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15 \quad\bigg/:15 \\
-11=\frac{2a_{1}+14r}{2} \\
-22=2a_{1}+14r \\
-11=a_{1}+7r$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych, moglibyśmy rozpisać trzeci wyraz jako:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$

Z treści zadania wynika, że trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(-1\), zatem:
$$-1=a_{1}+2r$$

Krok 3. Zapisanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch otrzymanych wcześniej równań możemy zbudować układ, którego rozwiązaniem będzie poszukiwana różnica ciągu:
\begin{cases}
-1=a_{1}+2r \\
-11=a_{1}+7r
\end{cases}

Ten układ można rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie chyba po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$10=-5r \\
r=-2$$