LekcjeRazem

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Pole kwadratu można obliczyć ze wzoru wykorzystującego długość przekątnej \(d\):
$$P_p=\frac{d^2}{2} \\
P_{p}=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2} \\
P_{p}=\frac{64\cdot3}{2} \\
P_{p}=\frac{192}{2} \\
P_{p}=96$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy to kąt między krawędzią boczną a połową przekątnej podstawy. Tworzą one wraz z wysokością ostrosłupa (\(H\)) trójkąt prostokątny.


Połowa przekątnej podstawy jest równa:
$$\frac{d}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$$

Zerkamy zatem na nasz zaznaczony na rysunku trójkąt prostokątny z którego obliczymy teraz wysokość bryły. Korzystając z funkcji trygonometrycznych (albo z własności trójkąta o kątach \(30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\)), możemy zapisać, że:
$$tg30^{\circ}=\frac{H}{\frac{d}{2}} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}} \quad\bigg/\cdot4\sqrt{3} \\
H=\frac{\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}}{3} \\
H=\frac{4\cdot3}{3} \\
H=4$$

Krok 3. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne miary, zatem możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4 \\
V=32\cdot4 \\
V=128$$