Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Działania łączne na ułamkach zwykłych (klasa 5 SP)
Kolejność działań
Nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie — także dla ułamków zwykłych.
Wspólny mianownik
Do dodawania i odejmowania sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.
Przykład
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$
Skracanie
Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.
Działania pisemne — powtórzenie (klasa 5 SP)
Cztery działania
Pisemnie wykonujemy dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, podpisując liczby zgodnie z pozycjami cyfr.
Mnożenie pisemne
Mnożymy przez kolejne cyfry drugiego czynnika i sumujemy odpowiednio przesunięte wyniki częściowe.
Dzielenie pisemne
Dzielimy od najwyższego rzędu, zapisując kolejne cyfry ilorazu oraz reszty.
Sprawdzenie
Dzielenie sprawdzamy mnożeniem: iloraz razy dzielnik plus reszta daje dzielną.
Dzielenie ułamków dziesiętnych (klasa 5 SP)
Reguła
Aby podzielić przez ułamek dziesiętny, przesuwamy przecinek w dzielniku tak, by stał się liczbą całkowitą, i o tyle samo miejsc w dzielnej.
Przykład
$$4{,}5:0{,}5=45:5=9$$
Dzielenie przez 10, 100
Dzieląc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo: $3{,}5:10=0{,}35$.
Na co uważać
Przecinek przesuwamy o tyle samo miejsc w obu liczbach.
Mnożenie ułamków dziesiętnych (klasa 5 SP)
Reguła
Mnożymy jak liczby naturalne (pomijając przecinki), a w wyniku odliczamy tyle miejsc po przecinku, ile mają łącznie oba czynniki.
Przykład
$$0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06$$ — razem dwa miejsca po przecinku.
Mnożenie przez 10, 100
Mnożąc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo: $2{,}5\cdot10=25$.
Na co uważać
Policz miejsca po przecinku w obu czynnikach i tyle odlicz w wyniku.
Potęgi liczb naturalnych (klasa 5 SP)
Zapis potęgi
$a^n$ to iloczyn $n$ jednakowych czynników $a$. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ wykładnikiem.
Przykłady
$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81,\qquad 10^3=1000$$
Potęgi dziesiątki
$10^n$ to jedynka z $n$ zerami: $10^2=100$, $10^4=10000$.
Kwadrat i sześcian
$a^2$ nazywamy kwadratem, a $a^3$ sześcianem liczby.
Szacowanie wyników działań (klasa 5 SP)
Po co szacujemy
Szacowanie daje przybliżony wynik, którym sprawdzamy sensowność dokładnych obliczeń.
Zaokrąglanie składników
Zaokrąglamy liczby do wygodnych wartości, np. $198+403\approx200+400=600$.
Przykład
$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000$$
Zastosowanie
Gdy dokładny wynik mocno różni się od oszacowania, warto sprawdzić rachunki.
Ułamek liczby (klasa 5 SP)
Co to znaczy
Ułamek liczby to jej część. Aby obliczyć $\frac{a}{b}$ z liczby, dzielimy ją przez $b$ i mnożymy przez $a$.
Przykład
$$\frac{2}{3}\ \text{z}\ 12 = 12:3\cdot2 = 8$$
Ułamek jako mnożenie
Obliczenie ułamka liczby to mnożenie: $\frac{2}{3}\cdot12=8$.
Zastosowanie
Tak liczymy część kwoty, długości czy liczby przedmiotów.
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny (klasa 5 SP)
Metoda
Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.
Przykłady
$$\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad \frac{3}{4}=0{,}75,\qquad \frac{1}{5}=0{,}2$$
Rozszerzanie do 10, 100
Czasem wygodnie rozszerzyć ułamek do mianownika $10$ lub $100$: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0{,}75$.
Rozwinięcia okresowe
Niektóre ułamki dają rozwinięcie nieskończone okresowe, np. $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$
Budowanie wyrażeń algebraicznych (klasa 6 SP)
Czym jest wyrażenie algebraiczne
Wyrażenie algebraiczne zawiera liczby, litery (zmienne) i znaki działań, na przykład $2x+3$.
Zapisywanie treści symbolami
Słowa zamieniamy na symbole: „o $3$ więcej niż $x$" to $x+3$, a „dwa razy $x$" to $2x$.
Przykłady
Suma liczb $a$ i $b$: $a+b$. Iloczyn: $a\cdot b$. Liczba o $5$ mniejsza od $x$: $x-5$.
Wartość wyrażenia
Podstawiając liczby za litery, obliczamy wartość: dla $x=4$ wyrażenie $2x+3$ ma wartość $11$.
Pojęcie procentu (klasa 6 SP)
Czym jest procent
Procent to setna część całości: $1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$.
Najważniejsze wartości
$50\%$ to połowa, $25\%$ to jedna czwarta, a $100\%$ to cała całość.
Procent liczby
Aby obliczyć $p\%$ z liczby, mnożymy ją przez $\frac{p}{100}$. Np. $20\%$ z $50$ to $50\cdot0{,}2=10$.
Zastosowanie
Procenty spotykamy w rabatach, podwyżkach i oprocentowaniu.
Zamiana procentu na ułamek i odwrotnie (klasa 6 SP)
Procent na ułamek
Procent zapisujemy jako ułamek o mianowniku $100$: $30\%=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$.
Ułamek na procent
Ułamek zamieniamy na procent, mnożąc przez $100\%$: $\frac{1}{4}=25\%$.
Procent na ułamek dziesiętny
Dzielimy przez $100$: $7\%=0{,}07$.
Przykłady
$$50\%=\frac{1}{2},\qquad 0{,}2=20\%$$
Jakim procentem jednej liczby jest druga (klasa 6 SP)
Metoda
Aby obliczyć, jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$, dzielimy $a$ przez $b$ i mnożymy przez $100\%$.
Wzór
$$\frac{a}{b}\cdot100\%$$
Przykład
Jakim procentem liczby $50$ jest $10$? $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
Na co uważać
W mianowniku stoi całość — liczba, do której odnosimy porównanie.
Obliczenia pieniężne i procentowe (klasa 6 SP)
Procent kwoty
Rabat lub podatek to procent kwoty: $20\%$ z $80$ zł to $16$ zł.
Podwyżka
Cena po podwyżce o $p\%$ to cena powiększona o $p\%$ jej wartości: $100$ zł $+10\%=110$ zł.
Obniżka
Cena po obniżce o $p\%$ to cena pomniejszona o $p\%$: $100$ zł $-20\%=80$ zł.
Zastosowanie
Tak liczymy ceny w sklepach oraz oprocentowanie lokat i kredytów.
Działania na liczbach całkowitych (klasa 6 SP)
Liczby całkowite
To liczby $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$ — dodatnie, ujemne oraz zero.
Dodawanie i odejmowanie
Dodanie liczby ujemnej to odejmowanie: $5+(-3)=2$. Odjęcie liczby ujemnej to dodawanie: $5-(-3)=8$.
Mnożenie i dzielenie
Wynik o zgodnych znakach jest dodatni, o różnych — ujemny: $(-2)\cdot(-3)=6$, a $(-2)\cdot3=-6$.
Wartość bezwzględna
$|-4|=4$ — to odległość liczby od zera na osi liczbowej.
Kolejność wykonywania działań (klasa 6 SP)
Kolejność
Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykład
$$10-2\cdot3+4=10-6+4=8$$
Z potęgami
$2+3^2=2+9=11$ — potęgę liczymy przed dodawaniem.
Nawiasy
Nawiasy zmieniają kolejność: $(10-2)\cdot3=24$.
Potęgi i ich własności (klasa 6 SP)
Iloczyn potęg
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
Iloraz potęg
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ dla $a\neq0$ — odejmujemy wykładniki.
Potęga potęgi
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — wykładniki mnożymy.
Przykłady
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad (3^2)^2=3^4=81$$
Upraszczanie wyrażeń algebraicznych (klasa 6 SP)
Wyrazy podobne
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $3x$ i $5x$. Można je dodawać: $3x+5x=8x$.
Redukcja
Upraszczanie to redukcja wyrazów podobnych: $2a+3a-a=4a$.
Opuszczanie nawiasów
$2(x+3)=2x+6$. Przed znakiem minus zmieniamy znaki: $-(x-2)=-x+2$.
Przykład
$$4x+2(x-1)=4x+2x-2=6x-2$$
Wartość liczbowa wyrażenia (klasa 6 SP)
Co to jest
Wartość liczbowa wyrażenia to liczba otrzymana po podstawieniu konkretnych liczb za litery.
Przykład
Dla $x=3$ wyrażenie $2x+1$ ma wartość $2\cdot3+1=7$.
Więcej zmiennych
Dla $a=2$ i $b=5$ wyrażenie $a+b$ ma wartość $7$, a $a\cdot b$ wartość $10$.
Kolejność
Po podstawieniu zachowujemy kolejność działań: dla $x=4$ mamy $x^2-1=16-1=15$.
Równania — wprowadzenie (klasa 6 SP)
Czym jest równanie
Równanie to równość zawierająca niewiadomą, na przykład $x+3=7$.
Rozwiązanie
Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej spełniającą równość. Dla $x+3=7$ jest to $x=4$.
Metoda
Wykonujemy te same działania po obu stronach: od $x+3=7$ odejmujemy $3$ i otrzymujemy $x=4$.
Sprawdzenie
Podstawiamy wynik: $4+3=7$ — równość jest prawdziwa.
Działania na ułamkach — powtórzenie (klasa 6 SP)
Dodawanie i odejmowanie
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy (odejmujemy) liczniki: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$.
Mnożenie
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
Dzielenie
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność: $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
Skracanie
Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.
Graniastosłupy — powtórzenie (klasa 6 SP)
Budowa
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy oraz ściany boczne, które w graniastosłupie prostym są prostokątami.
Objętość
$$V=P_p\cdot H$$ pole podstawy razy wysokość.
Pole powierzchni
$$P_c=2P_p+P_b$$ gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Przykład: sześcian
Dla sześcianu o krawędzi $a$: $V=a^3$ oraz $P_c=6a^2$.
Pola wielokątów — powtórzenie (klasa 6 SP)
Prostokąt i kwadrat
Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.
Trójkąt
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ podstawa razy wysokość podzielone przez dwa.
Równoległobok i romb
Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$ (połowa iloczynu przekątnych).
Trapez
$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$
Zadania tekstowe z równaniami (klasa 6 SP)
Jak rozwiązywać
Niewiadomą oznaczamy literą, np. $x$, i zapisujemy treść zadania równaniem.
Przykład
„Liczba powiększona o $5$ daje $12$": $x+5=12$, więc $x=7$.
Kolejne kroki
1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie. 3. Rozwiąż je. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.
Sprawdzenie
Podstawiamy wynik do treści zadania, aby upewnić się, że pasuje.
Jednomiany i sumy algebraiczne (klasa 7 SP)
Jednomian
Jednomian to iloczyn liczby i potęg zmiennych, np. $3x$, $-2ab$, $5x^2$. Liczbę nazywamy współczynnikiem.
Suma algebraiczna
Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x+3y-1$. Jednomiany nazywamy jej wyrazami.
Wyrazy podobne
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $2x$ i $5x$ — można je redukować.
Stopień jednomianu
To suma wykładników zmiennych: $3x^2y$ ma stopień $3$.
Strona 13 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.