Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Diagramy procentowe i kołowe
Po co są diagramy
Diagram zamienia liczby na obraz — dzięki temu od razu widać, co jest największe, a co najmniejsze.
Diagram słupkowy
Wysokość słupka odpowiada wartości. Najlepiej nadaje się do porównywania grup między sobą. Jeśli podano legendę „jedna kratka = $5$ osób”, wartość odczytujemy mnożeniem: słupek o $7$ kratkach to $7\cdot5=35$ osób.
Diagram kołowy
Całe koło to całość, czyli $100\%$ oraz pełny kąt $360^\circ$. Stąd przelicznik:
$$1\%=3{,}6^\circ,\qquad \text{kąt}=\frac{\text{procent}}{100}\cdot360^\circ$$
Najczęstsze części całości
- $\frac12=50\%=180^\circ$
- $\frac13\approx33\%=120^\circ$
- $\frac14=25\%=90^\circ$
- $\frac15=20\%=72^\circ$
Obliczanie procentu z liczby
$$\text{procent z liczby}=\frac{p}{100}\cdot a$$
Przykład: $40\%$ z $30$ uczniów to $0{,}4\cdot30=12$ uczniów.
Średnia z danych
$$\text{średnia}=\frac{\text{suma wartości}}{\text{liczba wartości}}$$
Przykład: dla $12$, $15$, $9$ i $20$ mamy $\frac{12+15+9+20}{4}=\frac{56}{4}=14$.
Na co uważać
Sprawdzaj, czy wszystkie części diagramu kołowego sumują się do $100\%$ — jeśli nie, gdzieś jest błąd. Uważaj też na osie diagramów słupkowych: gdy oś nie zaczyna się od zera, różnice wyglądają na dużo większe, niż są w rzeczywistości.
Procenty w banku — lokaty, podatki i punkty procentowe
Odsetki od lokaty
Bank dopisuje do wpłaconej kwoty odsetki liczone jako procent od kapitału:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}$$
Przykład: od $2000$ zł przy $5\%$ rocznie odsetki wynoszą $0{,}05\cdot2000=100$ zł.
Podatek od zysku
Od odsetek pobierany jest podatek $19\%$. Zamiast liczyć podatek i odejmować, szybciej od razu policzyć, ile zostaje:
$$\text{do wypłaty}=\text{odsetki}\cdot0{,}81$$
Przykład: z $300$ zł odsetek zostaje $300\cdot0{,}81=243$ zł.
Kapitalizacja — odsetki od odsetek
Po dopisaniu odsetek do kapitału w kolejnym roku procent liczy się już od większej kwoty:
$$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł — o $10$ zł więcej niż przy prostym naliczaniu.
Podwyżka i obniżka
$$\text{po podwyżce o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{po obniżce o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $10\%$ i następnie obniżka o $10\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $200\to220\to198$ zł, bo drugi procent liczymy od większej kwoty.
Szukanie kwoty sprzed zmiany
Jeśli po podwyżce o $20\%$ cena wynosi $360$ zł, to cena początkowa to:
$$360:1{,}2=300\ \text{zł}$$
Dzielimy, a nie odejmujemy $20\%$ od $360$ — to dałoby błędne $288$ zł.
Procent a punkt procentowy
To dwie różne miary tej samej zmiany:
- Punkty procentowe — zwykła różnica: z $4\%$ na $6\%$ to wzrost o $2$ punkty procentowe
- Procent zmiany — liczony względem wartości początkowej: $\frac{6-4}{4}=50\%$
Na co uważać
Zawsze sprawdzaj, od czego liczysz procent. Ta sama zmiana z $4\%$ na $6\%$ to jednocześnie $2$ punkty procentowe i aż $50\%$ wzrostu — obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na inne pytania.
Przekształcanie wzorów
Na czym to polega
Przekształcanie wzoru to wyznaczenie z niego innej wielkości. Obowiązuje jedna zasada: to, co robimy z jedną stroną równania, musimy zrobić z drugą.
Działania odwrotne
- dodawanie $\leftrightarrow$ odejmowanie
- mnożenie $\leftrightarrow$ dzielenie
- podnoszenie do kwadratu $\leftrightarrow$ pierwiastkowanie
Przykład 1 — pole prostokąta
Ze wzoru $P=a\cdot b$ wyznaczamy $b$, dzieląc obie strony przez $a$:
$$b=\frac{P}{a}$$
Przykład 2 — pole trójkąta
Ze wzoru $P=\frac{a\cdot h}{2}$ wyznaczamy $h$ w dwóch krokach:
$$2P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a}$$
Przykład 3 — wzór z dodawaniem
Ze wzoru $y=2x+3$ wyznaczamy $x$. Najpierw odejmujemy $3$, potem dzielimy przez $2$:
$$y-3=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-3}{2}$$
Najważniejsze wzory do ćwiczeń
- $s=v\cdot t \ \Rightarrow\ t=\frac{s}{v}$, $v=\frac{s}{t}$
- $O=2\pi r \ \Rightarrow\ r=\frac{O}{2\pi}$
- $V=P_p\cdot H \ \Rightarrow\ H=\frac{V}{P_p}$
- $P=a^2 \ \Rightarrow\ a=\sqrt{P}$ (dla $a>0$)
Na co uważać
Kolejność działań ma znaczenie: $\frac{y-3}{2}$ to nie to samo co $\frac{y}{2}-3$. Gdy nie masz pewności, czy wzór przekształciłeś dobrze, podstaw konkretne liczby i sprawdź, czy obie wersje dają ten sam wynik. Warto też kontrolować jednostki — kilometry dzielone przez km/h muszą dać godziny.
Ułamki zwykłe — podstawy
Budowa ułamka
W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik — mówi, ile części bierzemy. Liczba $b$ to mianownik — mówi, na ile równych części podzielono całość. Mianownik nigdy nie może być zerem.
Rodzaje ułamków
- Właściwy — licznik mniejszy od mianownika, wartość mniejsza od $1$, np. $\frac38$
- Niewłaściwy — licznik większy lub równy mianownikowi, np. $\frac94$ albo $\frac55$
- Liczba mieszana — całość i ułamek razem, np. $2\frac35$
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Przykład: $3\frac14=\frac{3\cdot4+1}{4}=\frac{13}{4}$.
Zamiana w drugą stronę
Dzielimy licznik przez mianownik z resztą. Wynik dzielenia to część całkowita, a reszta staje się nowym licznikiem.
Przykład: $22:7=3$ reszty $1$, więc $\frac{22}{7}=3\frac17$.
Dodawanie i odejmowanie przy jednakowych mianownikach
$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$
Działamy tylko na licznikach — mianownik przepisujemy bez zmian. Przykład: $\frac49+\frac29=\frac69=\frac23$.
Odejmowanie od całości
Liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek o tym samym mianowniku: $1=\frac{c}{c}$.
Przykład: $1-\frac27=\frac77-\frac27=\frac57$.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to dodawanie mianowników — $\frac13+\frac13$ to $\frac23$, a nie $\frac26$. Mianownik opisuje rozmiar części i przy dodawaniu takich samych części się nie zmienia. Wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej.
Obliczenia zegarowe i kalendarzowe
Jednostki czasu
- $1$ minuta $=60$ sekund
- $1$ godzina $=60$ minut
- $1$ doba $=24$ godziny
- $1$ tydzień $=7$ dni
- $1$ rok $=365$ dni (przestępny $366$)
Dodawanie czasu
Najpierw dodajemy pełne godziny, potem minuty. Gdy minut wyjdzie $60$ lub więcej, zamieniamy je na godzinę.
Przykład: $16{:}30$ plus $105$ minut. Najpierw $105$ min $=1$ h $45$ min. Potem $16{:}30+1$ h $=17{:}30$, a $17{:}30+45$ min $=18{:}15$.
Obliczanie czasu trwania
Wygodnie liczyć „przez pełną godzinę”: najpierw ile brakuje do pełnej godziny, potem ile zostaje.
Przykład: od $14{:}50$ do $15{:}20$ — do pełnej godziny $10$ minut, potem jeszcze $20$ minut, razem $30$ minut.
Liczba dni w miesiącach
Po $31$ dni mają: styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik, grudzień. Po $30$ dni: kwiecień, czerwiec, wrzesień, listopad. Luty ma $28$ dni, a w roku przestępnym $29$.
Rok przestępny
Rok jest przestępny, gdy dzieli się przez $4$. Wyjątkiem są pełne stulecia — te muszą dzielić się przez $400$. Dlatego rok $2000$ był przestępny, a $1900$ nie.
Dni tygodnia i cykl siedmiodniowy
Aby ustalić dzień tygodnia za $n$ dni, dzielimy $n$ przez $7$ i liczy się tylko reszta. Przykład: za $10$ dni od poniedziałku — $10:7=1$ reszty $3$, więc przesuwamy się o $3$ dni do czwartku.
Obliczenia pieniężne
Kwoty zapisujemy z dwoma miejscami po przecinku, a przy dodawaniu i odejmowaniu wyrównujemy przecinki, nie ostatnie cyfry: $50{,}00-34{,}60=15{,}40$ zł.
Na co uważać
Czas nie jest zapisem dziesiętnym — $2{,}5$ godziny to $2$ h $30$ min, a nie $2$ h $50$ min. Ułamek godziny mnożymy przez $60$, a nie przez $100$. Zapis $10{:}75$ nie istnieje, bo minut nie może być więcej niż $59$.
Bryły — objętość i jednostki
Czym jest objętość
Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła — ile sześcianów jednostkowych da się w niej zmieścić. Podajemy ją w jednostkach sześciennych: cm$^3$, dm$^3$, m$^3$.
Podstawowe wzory
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c$$
$$V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$V_{\text{graniastosłup}}=P_p\cdot H$$
Ostatni wzór jest najogólniejszy — prostopadłościan to po prostu graniastosłup o podstawie prostokątnej.
Jednostki objętości
$$1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$
Przelicznik objętości to sześcian przelicznika długości: skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^3=100\cdot100\cdot100$ cm$^3$.
Litry
$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$
To najważniejsza zamiana w zadaniach o pojemnikach i akwariach.
Elementy graniastosłupa
Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i ściany boczne. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami.
- ścian: liczba boków podstawy plus $2$
- wierzchołków: dwa razy liczba boków podstawy
- krawędzi: trzy razy liczba boków podstawy
Przykład dla graniastosłupa trójkątnego: $5$ ścian, $6$ wierzchołków, $9$ krawędzi.
Siatka bryły
Siatka to powierzchnia bryły rozłożona na płasko. Siatka sześcianu składa się z $6$ jednakowych kwadratów; można je ułożyć na $11$ różnych sposobów.
Pole powierzchni a objętość
To dwie różne wielkości: pole podajemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$. Pole powierzchni sześcianu to $6a^2$, a objętość to $a^3$.
Na co uważać
Przy zmianie wymiarów objętość rośnie w trzeciej potędze — podwojenie krawędzi sześcianu zwiększa objętość ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie. Przy przeliczaniu jednostek objętości dzielimy przez $1000$ lub $1\,000\,000$, nie przez $100$.
Równania — schemat rozwiązywania i zadania tekstowe
Co to znaczy rozwiązać równanie
Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie liczby, które po wstawieniu w miejsce niewiadomej dają zdanie prawdziwe.
Zasada przekształceń
Równanie można zmieniać, o ile to samo robimy z obiema stronami:
- dodać lub odjąć tę samą liczbę
- pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera
Schemat rozwiązywania
- rozwiń nawiasy
- przenieś niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą (zmieniając znak)
- zredukuj wyrazy podobne
- podziel przez współczynnik przy niewiadomej
- sprawdź, podstawiając wynik do pierwotnego równania
Przykład
$$5x-3=2x+9$$
$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Sprawdzenie: lewa strona $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$. Zgadza się.
Trzy możliwe wyniki
- Jedno rozwiązanie — po redukcji zostaje $ax=b$ z $a\neq0$
- Brak rozwiązań (równanie sprzeczne) — zostaje fałsz, np. $3=5$
- Nieskończenie wiele (równanie tożsamościowe) — zostaje prawda, np. $0=0$
Zadania tekstowe — schemat
- oznacz szukaną wielkość literą i zapisz, co ona znaczy
- wyraź pozostałe wielkości przez tę literę
- ułóż równanie na podstawie warunku z treści
- rozwiąż i sprawdź, czy wynik ma sens (np. wiek nie może być ujemny)
- odpowiedz pełnym zdaniem na pytanie zadania
Na co uważać
Przy przenoszeniu przez znak równości zmieniamy znak składnika. Minus przed nawiasem dotyczy całego nawiasu: $7y-2(y+3)=7y-2y-6$, a nie $7y-2y+6$. Sprawdzenie wyniku kosztuje kilkanaście sekund i wyłapuje większość pomyłek rachunkowych.
Obwody figur i jednostki pola
Obwód a pole — dwie różne wielkości
Obwód to długość linii dookoła figury — mierzymy ją w centymetrach, metrach, kilometrach. Pole to wielkość powierzchni wewnątrz figury — mierzymy je w jednostkach kwadratowych: cm$^2$, m$^2$.
Dobre skojarzenie: obwód to długość płotu wokół działki, a pole to ilość trawy w środku.
Wzory
$$O_{\text{kwadratu}}=4a,\qquad P_{\text{kwadratu}}=a\cdot a$$
$$O_{\text{prostokąta}}=2a+2b=2(a+b),\qquad P_{\text{prostokąta}}=a\cdot b$$
Przykład
Prostokąt $9$ cm na $4$ cm: obwód $2(9+4)=26$ cm, pole $9\cdot4=36$ cm$^2$.
Zadania odwrotne
Znając obwód kwadratu, bok znajdujemy dzieleniem: $a=O:4$. Znając pole prostokąta i jeden bok, drugi bok to $b=P:a$.
Jednostki pola
Przelicznik jednostek pola jest kwadratem przelicznika długości:
- $1$ cm $=10$ mm, więc $1$ cm$^2=100$ mm$^2$
- $1$ dm $=10$ cm, więc $1$ dm$^2=100$ cm$^2$
- $1$ m $=100$ cm, więc $1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$
- $1$ ar $=100$ m$^2$ (kwadrat $10$ m na $10$ m)
- $1$ hektar $=10\,000$ m$^2=100$ arów (kwadrat $100$ m na $100$ m)
Figury złożone
Figurę o dziwnym kształcie dzielimy na prostokąty i dodajemy ich pola — albo uzupełniamy do dużego prostokąta i odejmujemy to, czego brakuje.
Przy obwodzie figury złożonej z kilku sklejonych kwadratów pamiętaj: boki stykowe leżą wewnątrz i nie liczą się do obwodu.
Największe pole przy danym obwodzie
Spośród wszystkich prostokątów o tym samym obwodzie największe pole ma kwadrat. Przy obwodzie $20$ cm prostokąt $7\times3$ ma pole $21$ cm$^2$, a kwadrat o boku $5$ — aż $25$ cm$^2$.
Na co uważać
Dwa najczęstsze błędy: podanie pola tam, gdzie pytano o obwód (i odwrotnie), oraz przeliczanie jednostek pola tak jak długości — $1$ m$^2$ to $10\,000$ cm$^2$, a nie $100$.
Graniastosłupy proste — od siatki do objętości
Czym jest graniastosłup prosty
To bryła o dwóch jednakowych, równoległych podstawach połączonych ścianami bocznymi, które są prostokątami. Nazwa bierze się od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Ile ma elementów
Dla podstawy o $n$ bokach:
- ścian: $n+2$ (dwie podstawy i $n$ ścian bocznych)
- wierzchołków: $2n$
- krawędzi: $3n$ ($n$ w dole, $n$ w górze, $n$ pionowych)
Przykład dla sześciokąta: $8$ ścian, $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi.
Siatka
Siatka to bryła rozłożona na płasko: dwie podstawy plus pas $n$ prostokątów. Wysokość każdego prostokąta jest równa wysokości graniastosłupa.
Pole powierzchni
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=O_p\cdot H$$
Pole boczne liczymy jako obwód podstawy razy wysokość, bo rozwinięte ściany boczne tworzą jeden duży prostokąt.
Objętość
$$V=P_p\cdot H$$
Dla prostopadłościanu upraszcza się to do $V=a\cdot b\cdot c$, a dla sześcianu do $V=a^3$.
Sześcian i prostopadłościan
$$P_{\text{sześcianu}}=6a^2,\qquad V_{\text{sześcianu}}=a^3$$
$$P_{\text{prostopadłościanu}}=2(ab+ac+bc)$$
Sześcian ma $12$ krawędzi — to przydaje się w zadaniach o szkielecie z drutu: potrzeba $12a$.
Jednostki objętości
- $1$ cm$^3=1000$ mm$^3$
- $1$ dm$^3=1000$ cm$^3=1$ litr
- $1$ m$^3=1000$ dm$^3=1000$ litrów
Przelicznik jednostek objętości to sześcian przelicznika długości.
Zadania odwrotne
Z $V=P_p H$ wyznaczamy brakującą wielkość dzieleniem: $H=V:P_p$ albo $P_p=V:H$.
Na co uważać
Pole zapisujemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$ — pomylona jednostka to najczęstszy powód utraty punktu. Przy pytaniu „ile kostek się zmieści” bezpieczniej liczyć kostki wzdłuż każdej krawędzi niż dzielić objętości: jeśli wymiary nie dzielą się bez reszty, sam iloraz objętości daje wynik zawyżony.
Ostrosłupy — siatki, pole i objętość
Czym różni się ostrosłup od graniastosłupa
Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek nad nią; wszystkie ściany boczne to trójkąty zbiegające się w tym wierzchołku. Graniastosłup ma dwie podstawy i prostokątne ściany boczne.
Ile ma elementów
Dla podstawy o $n$ bokach:
- ścian: $n+1$
- wierzchołków: $n+1$
- krawędzi: $2n$
Stąd zadania odwrotne: ostrosłup o $12$ krawędziach ma podstawę sześciokątną ($2n=12$), a ostrosłup o $9$ wierzchołkach — ośmiokątną ($n+1=9$).
Ostrosłup prawidłowy
Ma podstawę będącą wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie ściany boczne są wtedy przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Siatka
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: jeden kwadrat i cztery jednakowe trójkąty równoramienne. Czworościan foremny: cztery jednakowe trójkąty równoboczne.
Pole powierzchni
$$P_c=P_p+P_b$$
Pole boczne to suma pól trójkątów. Dla ostrosłupa prawidłowego o $n$ ścianach, krawędzi podstawy $a$ i wysokości ściany bocznej $h$ (apotemie):
$$P_b=n\cdot\frac{a\cdot h}{2}$$
Objętość
$$V=\frac13 P_p\cdot H$$
Współczynnik $\frac13$ nie jest przypadkowy: trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Wysokość bryły a wysokość ściany
To dwie różne wielkości. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym łączy je trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $H$ i $\frac{a}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $h$:
$$h^2=H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Przykład: $a=10$, $h=13$, więc $H=\sqrt{169-25}=12$.
Zadania odwrotne
Z $V=\frac13 P_p H$ wynika $H=\frac{3V}{P_p}$ oraz $P_p=\frac{3V}{H}$. Zwróć uwagę na trójkę w liczniku — to najczęściej gubiony element.
Na co uważać
Pomijanie $\frac13$ przy objętości ostrosłupa to błąd numer jeden. Numer dwa to wstawianie wysokości bryły zamiast wysokości ściany bocznej przy liczeniu pola — zawsze sprawdź, którą wielkość podano w treści.
Jednostki miary — długość, pole, objętość, masa i czas
Zasada ogólna
Zamieniając na jednostkę mniejszą, mnożymy. Zamieniając na większą, dzielimy. Warto sprawdzić wynik zdrowym rozsądkiem: $3$ km to na pewno więcej niż $3$ m, więc liczba metrów musi być większa.
Długość
$$1\ \text{km}=1000\ \text{m},\qquad 1\ \text{m}=100\ \text{cm},\qquad 1\ \text{cm}=10\ \text{mm}$$
Pole — przelicznik podniesiony do kwadratu
$$1\ \text{cm}^2=100\ \text{mm}^2,\qquad 1\ \text{dm}^2=100\ \text{cm}^2,\qquad 1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2$$
$$1\ \text{ar}=100\ \text{m}^2,\qquad 1\ \text{ha}=10\,000\ \text{m}^2=100\ \text{arów}$$
Objętość — przelicznik podniesiony do sześcianu
$$1\ \text{cm}^3=1000\ \text{mm}^3,\qquad 1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$
Pojemność
$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{ml}=1\ \text{cm}^3$$
$$1\ \text{m}^3=1000\ \text{litrów}$$
To najczęściej potrzebne przejście w zadaniach o akwariach i basenach.
Masa
$$1\ \text{t}=1000\ \text{kg},\qquad 1\ \text{kg}=1000\ \text{g},\qquad 1\ \text{g}=1000\ \text{mg}$$
$$1\ \text{dag}=10\ \text{g},\qquad 1\ \text{kg}=100\ \text{dag}$$
Czas — uwaga, system nie jest dziesiętny
$$1\ \text{h}=60\ \text{min},\qquad 1\ \text{min}=60\ \text{s}$$
$2$ h $15$ min to $135$ minut, a nie $215$. W obliczeniach prędkości zapisujemy czas ułamkiem godziny: $15$ min $=0{,}25$ h, $20$ min $=\frac13$ h, $45$ min $=0{,}75$ h.
Przykłady
- $3{,}5$ km $=3500$ m
- $5$ dm$^2=500$ cm$^2$
- $4$ m$^3=4000$ litrów
- $2{,}4$ kg $=2400$ g
- $0{,}75$ l $=750$ ml
Na co uważać
Największa pułapka to stosowanie przelicznika długości do pola lub objętości. Przy polu przelicznik podnosimy do kwadratu, przy objętości — do sześcianu. Druga pułapka to czas: $1{,}5$ godziny to $90$ minut, a nie $150$.
Procenty — zmiany, punkty procentowe i stężenia
Trzy podstawowe pytania
- Ile to $p\%$ z $a$? $\ \to\ $ mnożymy: $a\cdot\frac{p}{100}$
- Jakim procentem $a$ jest $b$? $\ \to\ $ dzielimy: $\frac{b}{a}\cdot100\%$
- $b$ to $p\%$ pewnej liczby — jakiej? $\ \to\ $ dzielimy: $b:\frac{p}{100}$
Podwyżka i obniżka jednym mnożeniem
$$\text{wzrost o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{spadek o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Wzrost o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, spadek o $35\%$ — przez $0{,}65$.
Cena przed obniżką
Jeśli po obniżce o $30\%$ towar kosztuje $91$ zł, to $91$ stanowi $70\%$ ceny pełnej:
$$91:0{,}7=130\ \text{zł}$$
Częsty błąd to doliczenie $30\%$ do $91$ zł — daje $118{,}30$ zł, czyli wynik fałszywy, bo procent liczy się od innej podstawy.
Zmiany złożone
Przy dwóch zmianach po kolei mnożymy współczynniki, a nie dodajemy procenty:
$$+10\%,\ \text{potem} +10\%:\quad 1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21 \ \text{(a nie } 1{,}2)$$
$$+50\%,\ \text{potem} -50\%:\quad 1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75$$
Wzrost i taki sam procentowo spadek nigdy nie wracają do punktu wyjścia — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
Punkty procentowe
Gdy porównujemy dwie wartości wyrażone w procentach, ich różnicę podajemy w punktach procentowych.
Frekwencja wzrosła z $54\%$ do $61\%$ — to wzrost o $7$ punktów procentowych. Wzrost względny to $\frac{7}{54}\approx13\%$. Obie liczby są poprawne, ale opisują co innego i nie wolno ich mylić.
VAT, marża i lokata
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{VAT}{100}\right)$$
Marża doliczana do ceny zakupu działa tak samo jak podwyżka. Odsetki od lokaty za jeden rok to $K\cdot\frac{p}{100}$, a stan konta to $K\left(1+\frac{p}{100}\right)$.
Stężenie procentowe
$$C_p=\frac{m_{\text{substancji}}}{m_{\text{roztworu}}}\cdot100\%$$
W mianowniku jest masa całego roztworu, a nie samej wody. Dolewanie wody nie zmienia masy substancji — zmienia tylko mianownik.
Na co uważać
Zawsze ustal, od czego liczony jest procent. Ten sam procent od innej podstawy daje inną kwotę — to źródło większości błędów w zadaniach o rabatach, podwyżkach i stężeniach.
Egzamin ósmoklasisty — przekrój materiału
Liczby i działania
Kolejność: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie.
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^0=1$$
$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$$
Notacja wykładnicza
Liczbę zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a<10$. Wykładnik dodatni oznacza liczbę dużą, ujemny — mniejszą od $1$: $0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$.
Procenty
Wzrost o $p\%$ to mnożenie przez $1+\frac{p}{100}$, spadek — przez $1-\frac{p}{100}$. Cenę sprzed obniżki znajdujemy dzieleniem, nigdy doliczaniem tego samego procentu.
Wyrażenia algebraiczne i równania
Opuszczając nawias po minusie, zmieniamy znak każdego składnika: $3(2x-1)-2(x-4)=6x-3-2x+8=4x+5$.
Równanie rozwiązujemy, grupując niewiadome po jednej stronie, a liczby po drugiej. Wynik zawsze warto sprawdzić przez podstawienie.
Geometria płaska
$$c^2=a^2+b^2,\qquad S_{\text{kątów } n\text{-kąta}}=(n-2)\cdot180^\circ$$
$$P_{\triangle}=\frac{a\cdot h}{2},\qquad P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2},\qquad P_{\text{koła}}=\pi r^2,\qquad L=2\pi r$$
Trójki pitagorejskie warte zapamiętania: $3$–$4$–$5$, $6$–$8$–$10$, $9$–$12$–$15$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$.
Bryły
$$V_{\text{graniastosłupa}}=P_p H,\qquad V_{\text{ostrosłupa}}=\tfrac13 P_p H$$
$$1\ \text{m}^3=1000\ \text{litrów},\qquad 1\ \text{dm}^3=1\ \text{litr}$$
Statystyka i prawdopodobieństwo
Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów. Znając średnią i liczbę elementów, odzyskujemy sumę — to klucz do zadań o brakującej ocenie.
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
Prędkość, droga, czas
$$v=\frac{s}{t},\qquad s=v\cdot t,\qquad t=\frac{s}{v}$$
Czas podajemy w godzinach zapisanych ułamkiem: $2$ h $15$ min $=2{,}25$ h.
Na co uważać na egzaminie
Czytaj, o co pytano — obwód czy pole, ile zostało czy ile zużyto. Sprawdzaj jednostki w odpowiedzi. W zadaniach otwartych zapisuj obliczenia: punkty przyznaje się także za metodę, nawet gdy wynik końcowy jest błędny.
Działania pisemne i kolejność działań
Kolejność działań
- nawiasy
- potęgi i pierwiastki
- mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
- dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej
Przykład: $2+3\cdot4=2+12=14$. Liczenie po kolei od lewej dałoby błędne $20$ — to najczęstsza pomyłka w tym dziale.
Mnożenie pisemne
Mnożymy przez każdą cyfrę drugiego czynnika osobno, przesuwając kolejne wyniki o jedno miejsce w lewo, a na końcu dodajemy.
Przykład: $128\cdot25$. Liczymy $128\cdot5=640$ oraz $128\cdot20=2560$, w sumie $3200$.
Sprytniej: $25=100:4$, więc $128\cdot25=12\,800:4=3200$.
Dzielenie pisemne
Dzielimy od najstarszej cyfry, zapisując reszty. Przykład: $748:4$ — kolejno $7:4=1$ r. $3$, potem $34:4=8$ r. $2$, wreszcie $28:4=7$. Wynik: $187$.
Sprawdzenie zawsze przez mnożenie: $187\cdot4=748$ ✔
Dzielenie z resztą
$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r Litera $q$ to iloraz, $r$ to reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika — gdyby była równa lub większa, można by wykonać jeszcze jedno pełne dzielenie. Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$. Znając dzielnik, iloraz i resztę, odzyskujemy liczbę ze wzoru wyżej. Dla dzielnika $9$, ilorazu $12$ i reszty $5$: $9\cdot12+5=113$. Uwaga na interpretację. Przy $180$ uczniach i autokarach na $52$ miejsca $180:52=3$ r. $24$ — ale trzeba zamówić cztery autokary, bo dwudziestu czterech uczniów nie zostawimy. W innych zadaniach (np. „ile pełnych pudełek”) resztę się odrzuca. Zawsze decyduje treść. Przed zapisaniem wyniku warto go oszacować: $27\cdot24$ to mniej więcej $27\cdot25=675$, więc wynik $648$ jest wiarygodny, a np. $6480$ od razu wyglądałby podejrzanie. Trzy klasyczne błędy: liczenie od lewej bez uwzględnienia pierwszeństwa mnożenia, zgubienie przeniesienia przy mnożeniu pisemnym oraz podanie reszty większej od dzielnika.Zadania odwrotne
Reszty w zadaniach praktycznych
Kontrola z grubsza
Na co uważać
Pola wielokątów — równoległobok, trójkąt, trapez, romb
Zestawienie wzorów
$$P_{\text{równoległoboku}}=a\cdot h$$
$$P_{\text{trójkąta}}=\frac{a\cdot h}{2}$$
$$P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$
$$P_{\text{rombu}}=a\cdot h=\frac{e\cdot f}{2}$$
Skąd bierze się dzielenie przez dwa
Przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty. Każdy z nich ma więc połowę pola — stąd $\frac{a h}{2}$ we wzorze na trójkąt.
Podobnie romb mieści się dokładnie w prostokącie o bokach równych jego przekątnym i zajmuje połowę jego pola — stąd $\frac{e f}{2}$.
Wysokość to nie bok
We wzorach występuje wysokość, czyli odcinek prostopadły do podstawy. W równoległoboku wysokość jest zawsze krótsza od drugiego boku (chyba że figura jest prostokątem). Podstawienie boku zamiast wysokości to najczęstszy błąd w tym dziale.
Który wzór wybrać dla rombu
Gdy dane są bok i wysokość — używamy $a\cdot h$. Gdy dane są przekątne — $\frac{e f}{2}$. Oba dają ten sam wynik, ale każdy wymaga innych danych.
Trójkąt prostokątny
Przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości, więc pole to po prostu połowa ich iloczynu. Dla przyprostokątnych $5$ i $12$ pole wynosi $30$.
Zadania odwrotne
$$h=\frac{2P}{a} \ \text{(trójkąt)},\qquad a=\frac{P}{h} \ \text{(równoległobok)}$$
$$a+b=\frac{2P}{h} \ \text{(trapez)},\qquad f=\frac{2P}{e} \ \text{(romb)}$$
W trójkącie, trapezie i rombie pamiętaj o mnożeniu przez $2$ — to najczęściej gubiony element.
Figury złożone
Figurę dzielimy na znane kształty i dodajemy pola, albo uzupełniamy do prostokąta i odejmujemy nadmiar. Wybieramy sposób dający mniej rachunków.
Ciekawa zależność
Trapez o podstawach $a$ i $b$ ma takie samo pole jak trójkąt o podstawie $a+b$ i tej samej wysokości — oba wzory sprowadzają się do tego samego rachunku.
Na co uważać
Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych. Przy trójkącie i trapezie łatwo zapomnieć o dzieleniu przez $2$ — warto na koniec sprawdzić, czy wynik nie jest podejrzanie duży.
Podzielność liczb — cechy, rozkład, NWD i NWW
Cechy podzielności
- przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
- przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
- przez 4 — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$
- przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
- przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
- przez 10 — ostatnia cyfra to $0$
Przykład: $171$ dzieli się przez $3$, bo $1+7+1=9$. Nie trzeba wykonywać dzielenia.
Podzielność przez liczbę złożoną
Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$. Podobnie przez $15$ — gdy przez $3$ i przez $5$. Warunek musi zachodzić dla obu czynników naraz.
Liczby pierwsze i złożone
Pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie. Złożona ma ich więcej.
Liczby pierwsze do $20$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.
Dwa fakty warte zapamiętania: liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik), a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Rozkład na czynniki pierwsze
Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, aż dojdziemy do jedynki:
$$60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 126=2\cdot3^2\cdot7$$
NWD — największy wspólny dzielnik
Z rozkładów bierzemy czynniki wspólne w najniższych potęgach.
$$24=2^3\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$
NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność
Bierzemy wszystkie czynniki w najwyższych potęgach.
$$6=2\cdot3,\quad 8=2^3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$
Kiedy NWD, a kiedy NWW
- NWD — gdy coś dzielimy na równe części: paczki, grupy, kawałki materiału
- NWW — gdy coś powtarza się cyklicznie i szukamy spotkania: autobusy, drzewa i lampy, obiegi
Przydatna zależność
$$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Dla $30$ i $45$: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔ Pozwala szybko policzyć NWW, gdy znamy już NWD.
Liczby względnie pierwsze
Gdy $\mathrm{NWD}=1$, liczby nie mają wspólnego czynnika — jak $15$ i $28$. Ich NWW jest wtedy równe iloczynowi.
Na co uważać
Nie myl NWD z NWW — pierwsze jest zawsze mniejsze lub równe obu liczbom, drugie zawsze większe lub równe. Jeśli wynik nie mieści się w tych granicach, gdzieś jest błąd.
Kąty, czworokąty i konstrukcje geometryczne
Rodzaje kątów
- ostry — mniej niż $90^\circ$
- prosty — dokładnie $90^\circ$
- rozwarty — między $90^\circ$ a $180^\circ$
- półpełny — $180^\circ$
- pełny — $360^\circ$
Pary kątów
Przyległe dopełniają się do $180^\circ$. Wierzchołkowe są równe.
Przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe. Powstają wtedy tylko dwie różne miary — np. $58^\circ$ i $122^\circ$.
Suma kątów w wielokącie
$$S=(n-2)\cdot180^\circ$$
Bierze się stąd, że $n$-kąt dzielimy przekątnymi z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty.
Trójkąt $180^\circ$, czworokąt $360^\circ$, pięciokąt $540^\circ$, sześciokąt $720^\circ$.
Wielokąt foremny
$$\text{kąt wewnętrzny}=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n},\qquad \text{kąt zewnętrzny}=\frac{360^\circ}{n}$$
Suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$ — to często szybsza droga do wyniku.
Kąt zewnętrzny trójkąta
Jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Dla trójkąta $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku to $110^\circ=50^\circ+60^\circ$.
Własności czworokątów
- równoległobok — przeciwległe boki i kąty równe; kąty przy tym samym boku dają $180^\circ$; przekątne dzielą się na połowy
- prostokąt — jak równoległobok, dodatkowo cztery kąty proste i równe przekątne
- romb — jak równoległobok, dodatkowo cztery równe boki i prostopadłe przekątne
- trapez równoramienny — kąty przy tej samej podstawie równe, przekątne równe
Liczba przekątnych
$$\frac{n(n-3)}{2}$$
Z każdego wierzchołka prowadzimy $n-3$ przekątne (pomijamy siebie i dwóch sąsiadów), a dzielimy przez $2$, bo każdą liczylibyśmy dwukrotnie.
Konstrukcje cyrklem i linijką
Symetralna odcinka: tym samym rozwarciem cyrkla (większym niż połowa odcinka) kreślimy łuki z obu końców i łączymy punkty ich przecięcia. Działa, bo te punkty są jednakowo oddalone od obu końców.
Dwusieczna kąta: z wierzchołka zakreślamy łuk przecinający ramiona, a następnie z obu punktów przecięcia — łuki tej samej długości. Prosta przez wierzchołek i punkt przecięcia łuków dzieli kąt na pół.
Na co uważać
Symetralna dotyczy odcinka, dwusieczna — kąta; mylenie tych nazw to najczęstsza pomyłka. Przy zadaniach z kątami zawsze warto sprawdzić na końcu, czy suma się zgadza.
Koło i okrąg — długość, pole i figury złożone
Koło a okrąg
Okrąg to sama linia — zbiór punktów oddalonych od środka dokładnie o promień. Koło to okrąg razem z wnętrzem.
Stąd okrąg ma długość, a koło ma pole.
Wzory
$$L=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $r$ to promień, a $d=2r$ — średnica. Do obliczeń przybliżonych przyjmujemy $\pi\approx3{,}14$.
Zadania odwrotne
$$r=\frac{L}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}$$
Przykład: z $L=18\pi$ dostajemy $r=9$; z $P=49\pi$ dostajemy $r=7$.
Najczęstsza pułapka
Wstawienie średnicy zamiast promienia do wzoru na pole. Dla $d=8$ poprawnie jest $P=\pi\cdot4^2=16\pi$, a nie $64\pi$ — błąd czterokrotny.
Jak zmiana promienia wpływa na wynik
Długość okręgu zależy od promienia liniowo, a pole — od jego kwadratu. Podwojenie promienia podwaja obwód, ale zwiększa pole czterokrotnie.
Części koła
$$P_{\text{półkola}}=\frac{\pi r^2}{2},\qquad P_{\text{ćwiartki}}=\frac{\pi r^2}{4}$$
Uwaga przy obwodzie: obwód półkola to łuk plus średnica, czyli $\pi r+2r$ — sam łuk nie zamyka figury.
Pierścień kołowy
$$P=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right)$$
Nie wolno liczyć $\pi(R-r)^2$ — najpierw podnosimy do kwadratu, potem odejmujemy.
Koło wpisane w kwadrat
Średnica koła równa się bokowi kwadratu. Odpad (część kwadratu poza kołem) stanowi zawsze około $21{,}5\%$ powierzchni — niezależnie od rozmiaru.
Zastosowania praktyczne
Jeden obrót koła to droga równa jego obwodowi. Koło o średnicy $70$ cm po $100$ obrotach przejedzie $100\cdot\pi\cdot70\approx21\,980$ cm, czyli około $220$ m.
Na co uważać
W figurach złożonych z prostokąta i półkoli sprawdź, które odcinki naprawdę leżą na brzegu. Boki schowane wewnątrz figury nie liczą się do obwodu.
Układ współrzędnych — punkty, odcinki i figury
Budowa układu
Dwie prostopadłe osie: pozioma $OX$ (odcięte) i pionowa $OY$ (rzędne). Przecinają się w początku układu $O=(0,\,0)$.
Punkt zapisujemy jako parę $(x,\,y)$ — zawsze najpierw odcięta.
Ćwiartki
- I — $(+,+)$, prawa górna
- II — $(-,+)$, lewa górna
- III — $(-,-)$, lewa dolna
- IV — $(+,-)$, prawa dolna
Punkty osi $OX$ mają postać $(x,\,0)$, a osi $OY$ — $(0,\,y)$.
Odcinki równoległe do osi
Gdy odcinek jest poziomy (równe rzędne), jego długość to różnica odciętych. Gdy pionowy — różnica rzędnych. Nie trzeba wtedy twierdzenia Pitagorasa.
Odcinek ukośny
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To po prostu twierdzenie Pitagorasa: rysujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równoległych do osi.
Przykład: dla $A=(1,\,1)$ i $B=(5,\,4)$ mamy $\Delta x=4$, $\Delta y=3$, więc $|AB|=5$.
Środek odcinka
$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$
Zadanie odwrotne: znając środek i jeden koniec, drugi znajdujemy z $x_B=2x_S-x_A$.
Odległość od osi
Od osi $OX$ — wartość bezwzględna rzędnej. Od osi $OY$ — wartość bezwzględna odciętej. Odległość nigdy nie jest ujemna.
Symetrie
- względem osi $OX$: $(x,\,y)\to(x,\,-y)$
- względem osi $OY$: $(x,\,y)\to(-x,\,y)$
- względem początku układu: $(x,\,y)\to(-x,\,-y)$
Przesunięcie o wektor
$$(x,\,y)\ \xrightarrow{\ [p,\,q]\ }\ (x+p,\ y+q)$$
Przesunięcie nie zmienia kształtu ani rozmiaru figury — jej pole i obwód pozostają takie same. Zmieniają się tylko współrzędne.
Pola figur w układzie
Dla figur o bokach równoległych do osi wystarczą zwykłe wzory: różnice współrzędnych dają długości boków i wysokości. Trójkąt o wierzchołkach na obu osiach i w początku układu jest prostokątny, więc jego pole to połowa iloczynu przyprostokątnych.
Na co uważać
Kolejność współrzędnych — $(3,\,5)$ i $(5,\,3)$ to różne punkty. Przy odległości od osi nie zapominaj o wartości bezwzględnej.
Proporcjonalność, podział proporcjonalny i skala
Proporcja
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c$$
Mnożenie na krzyż to podstawowe narzędzie — zamienia proporcję w zwykłe równanie.
Proporcjonalność prosta
Wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej w tym samym stosunku. Iloraz jest stały:
$$\frac{y}{x}=k \quad\Rightarrow\quad y=kx$$
Przykłady: liczba biletów i kwota, droga i zużycie paliwa, ilość składników i liczba porcji.
Proporcjonalność odwrotna
Wzrost jednej wielkości powoduje spadek drugiej. Stały jest iloczyn:
$$x\cdot y=k$$
Przykłady: liczba robotników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu.
Jak rozpoznać: zadaj sobie pytanie „czy więcej znaczy więcej, czy mniej?”. Czterech malarzy pracuje $9$ dni, więc sześciu — krócej. Stała jest praca: $4\cdot9=36$ dniówek, stąd $36:6=6$ dni.
Podział proporcjonalny
Schemat jest zawsze ten sam:
- zsumuj liczby ze stosunku — dostajesz liczbę części
- podziel całość przez liczbę części — dostajesz wartość jednej części
- pomnóż przez odpowiednie liczby ze stosunku
Przykład: $120$ zł w stosunku $2:3$. Części jest $5$, jedna warta $24$ zł, więc podział to $48$ zł i $72$ zł.
Kontrola: suma otrzymanych wartości musi dać całość.
Skala
Zapis $1:n$ oznacza, że $1$ jednostka na mapie odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.
$$\text{odległość rzeczywista}=\text{odległość na mapie}\times n$$
Warto zapamiętać: przy skali $1:100\,000$ każdy centymetr mapy to dokładnie $1$ km.
Wyznaczanie skali
Obie odległości sprowadzamy do tych samych jednostek i tworzymy stosunek. Dla $8$ cm na mapie i $4$ km w terenie: $4$ km $=400\,000$ cm, więc skala to $\frac{8}{400\,000}=1:50\,000$.
Skala a pole
Długości zmieniają się jak skala, ale pola jak jej kwadrat. W skali $1:100$ pole rzeczywiste jest $10\,000$ razy większe niż na planie — nie $100$ razy.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to podanie wartości jednej części zamiast szukanej części podziału. Drugi — zastosowanie proporcji prostej tam, gdzie działa odwrotna; wtedy wynik wychodzi sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem (więcej pracowników, a dłużej), co warto wychwycić.
Liczby całkowite na osi liczbowej
Czym są liczby całkowite
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne i zero:
$$\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots$$
Na osi liczbowej rozmieszczone są w równych odstępach — ujemne po lewej od zera, dodatnie po prawej.
Porównywanie
Zasada jest prosta: większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo.
$$-7<-3<0<2<5$$
Wśród liczb ujemnych działa to odwrotnie niż intuicja podpowiada: $-7$ jest mniejsze od $-3$, choć „siódemka jest większa od trójki”. Decyduje położenie na osi, a nie sama cyfra.
Wartość bezwzględna
To odległość liczby od zera — zawsze nieujemna:
$$|{-6}|=6,\qquad |6|=6,\qquad |0|=0$$
Dwie liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, bo leżą w tej samej odległości od zera, tylko po przeciwnych stronach.
Liczba przeciwna
Liczbą przeciwną do $a$ jest $-a$. Ich suma zawsze wynosi zero:
$$a+(-a)=0$$
Nie myl z liczbą odwrotną — odwrotnością $5$ jest $\frac15$, a liczbą przeciwną $-5$.
Dodawanie i odejmowanie na osi
Dodawanie liczby dodatniej to ruch w prawo, odejmowanie — w lewo:
$$-3+5=2,\qquad -3-5=-8$$
Gdy znaki są różne, odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większym module: $-7+12=5$, bo $12>7$ i dwunastka jest dodatnia.
Odejmowanie liczby ujemnej
$$a-(-b)=a+b$$
Dwa minusy dają plus. Przykład: $3-(-5)=8$ — to właśnie odległość między $3$ a $-5$ na osi liczbowej.
Mnożenie i dzielenie — reguła znaków
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Jednakowe znaki dają plus, różne — minus. Ta sama reguła obowiązuje przy dzieleniu.
Ile liczb leży między dwiema danymi
Liczb całkowitych ściśle między $a$ i $b$ jest $b-a-1$. Między $-4$ a $3$ mamy $3-(-4)-1=6$ liczb: $-3,-2,-1,0,1,2$. Zera nie wolno pominąć.
Zastosowania
Temperatury poniżej zera, poziomy w budynku, stan konta, wysokość względem poziomu morza. Dług $150$ zł zapisujemy jako $-150$ — i wtedy „większy dług” to mniejsza liczba.
Na co uważać
Trzy typowe błędy: uznanie $-5>-2$, pomylenie liczby przeciwnej z odwrotną oraz pominięcie zera przy zliczaniu liczb w przedziale.
Dzielniki, wielokrotności i liczby pierwsze
Dzielnik i wielokrotność
Liczba $d$ jest dzielnikiem $n$, gdy $n:d$ daje wynik całkowity bez reszty. Wtedy $n$ nazywamy wielokrotnością $d$.
Przykład: $3$ jest dzielnikiem $12$, a $12$ jest wielokrotnością $3$. To dwie strony tej samej relacji.
Jak wypisać wszystkie dzielniki
Szukamy parami, zaczynając od $1$:
$$24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$$
$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$
Kończymy, gdy czynniki zaczynają się mijać. Ta metoda gwarantuje, że nic nie zostanie pominięte.
Cechy podzielności
- przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
- przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
- przez 4 — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$
- przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
- przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
- przez 10 — ostatnia cyfra to $0$
Przykład: $6543$ — suma cyfr to $18$, więc liczba dzieli się przez $9$ (a tym samym przez $3$).
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Pierwsze z nich to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.
Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona — ma tylko jeden dzielnik. Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Rozkład na czynniki pierwsze
Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze, aż dojdziemy do $1$:
$$60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5$$
W rozkładzie wszystkie czynniki muszą być pierwsze — zapis $60=4\cdot15$ to jeszcze nie rozkład na czynniki pierwsze.
NWD i NWW
NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność.
Dla $12$ i $18$: wspólne dzielniki to $1,2,3,6$, więc NWD$=6$. Wspólne wielokrotności to $36,72,\dots$, więc NWW$=36$.
Praktyczna zależność:
$$\text{NWD}(a,b)\cdot\text{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔ Znając jedno, łatwo obliczyć drugie.
Gdzie się to przydaje
NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej. NWW służy do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i do zadań o „spotykających się” cyklach — np. dwa autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Na co uważać
Nie myl dzielnika z wielokrotnością (dzielników jest skończenie wiele, wielokrotności nieskończenie). Nie zaliczaj $1$ do liczb pierwszych. I pamiętaj, że każda liczba jest dzielnikiem samej siebie.
Podwyżki i obniżki — procenty w praktyce
Mnożnik — najważniejsze narzędzie
Zamiast liczyć rabat i odejmować, mnożymy od razu przez jedną liczbę:
$$\text{podwyżka o } p\%:\ \times\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{obniżka o } p\%:\ \times\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, obniżka o $30\%$ — przez $0{,}7$.
Trzy podstawowe typy zadań
1. Znamy cenę wyjściową, szukamy końcowej. Mnożymy: $200\cdot1{,}15=230$ zł.
2. Znamy cenę końcową, szukamy wyjściowej. Dzielimy: $\frac{850}{0{,}85}=1000$ zł.
3. Znamy obie ceny, szukamy procentu. Dzielimy zmianę przez cenę wyjściową: $\frac{15}{60}=25\%$.
Podstawa procentu — źródło większości błędów
Procent zawsze liczymy od czegoś. To „coś” nazywamy podstawą i stanowi ono $100\%$.
Przy obniżce podstawą jest cena sprzed obniżki. Gdy cena wzrosła z $18$ do $27$ zł, wzrost wynosi $\frac{9}{18}=50\%$ — dzielimy przez $18$, a nie przez $27$.
Zmiany złożone
Kolejne zmiany procentowe mnożymy, nie dodajemy:
$$1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$$
Podwyżka o $10\%$, a potem obniżka o $10\%$ nie wraca do punktu wyjścia — daje spadek o $1\%$. Powód: obniżkę liczymy od większej kwoty.
Ogólnie $(1+p)(1-p)=1-p^2<1$ — końcowa cena jest zawsze niższa od wyjściowej.
Rabaty łączone
Dwa rabaty $30\%$ i $10\%$ dają mnożnik $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$, czyli łączny rabat $37\%$ — mniej niż $40\%$. Sprzedawcy chętnie eksponują sumę procentów, ale liczy się iloczyn mnożników.
Powroty nie są symetryczne
Spadek o $50\%$ wymaga wzrostu o $100\%$, by wrócić do punktu wyjścia. Wzrost o $50\%$ odwraca spadek o $33\tfrac13\%$.
Dzieje się tak, bo za każdym razem procent liczymy od innej podstawy.
Narzut a marża
Narzut liczymy od ceny zakupu, a rabat — od ceny sprzedaży. Towar kupiony za $80$ zł z narzutem $50\%$ kosztuje $120$ zł; po rabacie $30\%$ sprzedamy go za $84$ zł, wciąż z zyskiem $4$ zł. Odejmowanie tych procentów od siebie nie ma sensu.
Na co uważać
Nie odejmuj $20\%$ od ceny po podwyżce, gdy szukasz ceny sprzed niej. Nie dodawaj procentów kolejnych rabatów. I zawsze sprawdzaj, od czego liczony jest dany procent.
Działania na potęgach i pierwiastek sześcienny
Cztery reguły potęgowania
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
$$a^m:a^n=a^{m-n}$$
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$
$$(ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają tylko dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia — $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Najczęstsza pomyłka
Przy iloczynie wykładniki dodajemy, przy potędze potęgi — mnożymy:
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad \left(2^3\right)^2=2^6=64$$
Te dwa zapisy wyglądają podobnie, a dają różne wyniki.
Wykładnik zerowy
$$a^0=1 \quad \text{dla } a\neq0$$
Wynika to wprost z reguły dzielenia: $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Potęga liczby ujemnej
Wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny:
$$(-3)^4=81,\qquad (-3)^3=-27$$
Uwaga na nawias: $-3^4$ oznacza $-(3^4)=-81$, a $(-3)^4=81$. Bez nawiasu minus nie wchodzi pod potęgę.
Sprowadzanie do wspólnej podstawy
To niemal zawsze pierwszy krok w trudniejszych zadaniach:
$$\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{\left(3^2\right)^3\cdot3^2}{\left(3^3\right)^2}=\frac{3^8}{3^6}=3^2=9$$
Dopiero po zapisaniu wszystkiego jako potęgi trójki reguły stają się użyteczne.
Pierwiastek sześcienny
$$\sqrt[3]{a}=b \iff b^3=a$$
$$\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{64}=4,\qquad \sqrt[3]{125}=5,\qquad \sqrt[3]{1000}=10$$
Istotna różnica względem pierwiastka kwadratowego: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna:
$$\sqrt[3]{-8}=-2$$
Własności pierwiastków
$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab},\qquad \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$
Przykład: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6$ oraz $\sqrt[3]{216}=6$ ✔
Gdzie się to przydaje
Objętość sześcianu to $V=a^3$, więc krawędź odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym: $a=\sqrt[3]{V}$. Dla $V=1000$ cm³ krawędź wynosi $10$ cm, a pole powierzchni $6\cdot100=600$ cm².
Na co uważać
Nie mnóż podstaw przy mnożeniu potęg. Nie myl $-a^n$ z $(-a)^n$. I pamiętaj, że $(2x)^2=4x^2$ — do kwadratu podnosimy również współczynnik.
Strona 11 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.