Regulamin korzystania ze strony internetowej
§ 1. Postanowienia ogólne
Regulamin określa zasady korzystania ze strony internetowej prowadzonej przez AMKBIT Grzegorz Klekiel („Serwis") oraz zasady świadczenia usług elektronicznych (płatnych i bezpłatnych) dostępnych w Serwisie.
Akceptacja Regulaminu jest równoznaczna z zobowiązaniem do jego przestrzegania oraz do korzystania z Serwisu zgodnie z prawem.
Serwis nie prowadzi sprzedaży towarów. Warunki świadczenia usług płatnych określa niniejszy Regulamin, ewentualnie cennik/opis usługi lub odrębne warunki szczegółowe, jeżeli zostały udostępnione.
↑ Wróć na górę§ 2. Definicje
- Serwis – strona internetowa AMKBIT Grzegorz Klekiel wraz z podstronami.
- Usługi elektroniczne – nieodpłatne usługi świadczone drogą elektroniczną (np. formularz kontaktowy, chat, newsletter, konto użytkownika – jeżeli dostępne).
- Użytkownik – każdy podmiot korzystający z Serwisu.
- Treści Użytkownika – materiały publikowane przez Użytkownika (np. opinie, komentarze).
- Trwały nośnik – nośnik umożliwiający przechowywanie informacji (np. e-mail, PDF).
§ 3. Informacje o stronie
- Serwis ma charakter informacyjny i prezentuje ofertę, funkcje oraz aktualności związane z działalnością AMKBIT Grzegorz Klekiel.
- Informacje opublikowane w Serwisie mają charakter poglądowy i nie stanowią oferty w rozumieniu Kodeksu cywilnego.
- Prawa do elementów Serwisu (nazwa, domena, projekt, grafiki, znaki) przysługują AMKBIT Grzegorz Klekiel lub odpowiednim podmiotom trzecim.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel dokłada starań, by treści były aktualne i rzetelne; Serwis może być okresowo aktualizowany.
§ 4. Wymagania techniczne i cookies
- Wymagane jest urządzenie z dostępem do Internetu i aktualna przeglądarka z włączoną obsługą JavaScript i plików cookies.
- Serwis używa cookies i podobnych technologii w celach funkcjonalnych, analitycznych i bezpieczeństwa – szczegóły określa Polityka cookies.
§ 5. Usługi elektroniczne (płatne i bezpłatne)
- Zakres i dostępność. AMKBIT Grzegorz Klekiel może udostępniać w Serwisie usługi takie jak: Formularz kontaktowy, Chat, Newsletter, Konto/Panel użytkownika oraz inne funkcje. Część usług może być świadczona odpłatnie – informacja o odpłatności, cenie, czasie trwania oraz zakresie świadczenia podawana jest przy danej usłudze (np. w opisie funkcji lub cenniku).
- Zawarcie umowy i aktywacja. Umowa o usługę płatną zawierana jest online z chwilą potwierdzenia zamówienia/usługi przez AMKBIT Grzegorz Klekiel lub skutecznego opłacenia (w zależności od komunikatu przy usłudze). Aktywacja następuje niezwłocznie po zawarciu umowy, chyba że komunikat stanowi inaczej.
- Płatności i moment powstania przychodu. Zapłata za usługi płatne następuje z góry za wybrany przez Użytkownika czas dostępu (np. 1 miesiąc, 3 miesiące, rok). Usługa uznana jest za wykonaną w zakresie udzielenia (aktywowania) dostępu do pełnej funkcjonalności Konta/Panelu na opłacony czas niezwłocznie po otrzymaniu zapłaty. Przychód powstaje w dacie otrzymania płatności lub wystawienia faktury/rachunku (zależnie co nastąpi wcześniej). Płatności online mogą być realizowane za pośrednictwem Przelewy24 (PayPro S.A.).
- Odstąpienie od umowy (konsumenci). Konsument może odstąpić od umowy o usługę w terminie 14 dni, chyba że przed upływem tego terminu za wyraźną zgodą Konsumenta rozpoczęto świadczenie usługi (udzielenie dostępu do treści cyfrowych) i poinformowano o utracie prawa odstąpienia – w takim wypadku prawo odstąpienia nie przysługuje w zakresie już spełnionego świadczenia.
- Rezygnacja i rozwiązanie. Usługi bezpłatne można zakończyć w dowolnym momencie (np. wypis z Newslettera, usunięcie Konta). Zasady wypowiedzenia usług płatnych wynikają z ich charakteru (dostęp na czas oznaczony).
- Zmiany usług. AMKBIT Grzegorz Klekiel może modyfikować zakres, formę i sposób dostępu do usług (w tym płatnych) z ważnych przyczyn (np. bezpieczeństwo, zmiany prawa, rozwój funkcji). O zmianach dotyczących usług płatnych Użytkownicy zostaną poinformowani z wyprzedzeniem właściwym dla charakteru zmian.
- Charakter dostępu i odnowienia. Usługi płatne polegają na sprzedaży dostępu do funkcjonalności Serwisu na czas oznaczony. Użytkownik może w dowolnym momencie dokupić kolejny czas dostępu, który zostanie doliczony do obecnego terminu ważności Konta. Serwis nie stosuje domyślnie automatycznego odnawiania dostępu z pobieraniem środków z karty; ewentualne wprowadzenie takiej opcji wymaga odrębnej zgody Użytkownika.
- Fakturowanie. AMKBIT Grzegorz Klekiel wystawia faktury/rachunki w formie elektronicznej. Ceny podane w Serwisie są cenami brutto. Sprzedawca korzysta ze zwolnienia z VAT – podatek VAT nie jest doliczany.
- Reklamacje.
Reklamacje dotyczące działania Serwisu (np. dostęp do konta, funkcje, rozliczenia) prosimy składać na adres e-mail:
firma@amkbit.pl lub telefonicznie:
+48 455 405 228.
Czas rozpatrzenia: Reklamacje rozpatrujemy w terminie 14 dni kalendarzowych od dnia otrzymania kompletnego zgłoszenia. Odpowiedź przekazujemy na adres e-mail wskazany przez zgłaszającego (lub innym uzgodnionym kanałem).
Reklamacje dotyczące samego procesu płatności online (operator Przelewy24) można dodatkowo zgłaszać poprzez Centrum Pomocy Przelewy24: https://www.przelewy24.pl/centrum-pomocy.
§ 6. Rejestracja i Konto (jeżeli dostępne)
- Rejestracja jest dobrowolna i nieodpłatna; wymaga podania prawdziwych danych i akceptacji Regulaminu.
- Użytkownik odpowiada za poufność danych logowania oraz działania w Koncie.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel może zablokować lub usunąć Konto w przypadku rażącego naruszenia Regulaminu lub prawa.
§ 7. Zasady korzystania (AUP)
- Zabronione jest dostarczanie treści bezprawnych, naruszających prawa osób trzecich, dobre obyczaje lub bezpieczeństwo systemów.
- Zakazane jest wykorzystywanie Serwisu do działań reklamowych podmiotów trzecich, spamu oraz publikowania treści niezwiązanych z tematyką Serwisu.
- Użytkownik powinien stosować odpowiednie środki bezpieczeństwa (aktualne oprogramowanie, silne hasła). AMKBIT Grzegorz Klekiel nigdy nie prosi o podanie hasła.
§ 8. Treści Użytkownika i licencja
- Treści Użytkownika mają charakter subiektywny; AMKBIT Grzegorz Klekiel udostępnia infrastrukturę i nie jest ich dostawcą.
- Użytkownik oświadcza, że posiada prawa do publikowanych treści i wymagane zgody (w tym na wizerunek i dane osób trzecich).
- Użytkownik udziela AMKBIT Grzegorz Klekiel niewyłącznej, nieodpłatnej licencji na korzystanie z treści w zakresie niezbędnym do świadczenia usług i funkcjonowania Serwisu (w tym prawa zależne i sublicencję w ramach usług infrastrukturalnych).
- Po otrzymaniu wiarygodnego zawiadomienia o naruszeniu AMKBIT Grzegorz Klekiel może usunąć lub zmodyfikować treści (notice & takedown).
§ 9. Odpowiedzialność i dostępność
- AMKBIT Grzegorz Klekiel zapewnia działanie Serwisu z należytą starannością, jednak nie gwarantuje nieprzerwanej dostępności. Przerwy mogą wynikać z prac serwisowych, awarii lub siły wyższej.
- W najszerszym dopuszczalnym zakresie AMKBIT Grzegorz Klekiel nie ponosi odpowiedzialności za: (1) szkody wynikłe z korzystania niezgodnie z Regulaminem; (2) treści i funkcje serwisów zewnętrznych; (3) decyzje podjęte na podstawie treści Serwisu.
- Postanowienia nie wyłączają odpowiedzialności, której wyłączenie jest prawnie niedopuszczalne.
§ 10. Linki zewnętrzne
Serwis może zawierać odnośniki do stron zewnętrznych. AMKBIT Grzegorz Klekiel nie odpowiada za ich dostępność, zgodność z prawem ani jakość. Korzystanie z serwisów zewnętrznych podlega ich regulaminom i politykom.
↑ Wróć na górę§ 11. Zgłaszanie naruszeń
Naruszenia prawa lub dóbr osobistych można zgłaszać kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie. Po otrzymaniu zgłoszenia AMKBIT Grzegorz Klekiel niezwłocznie podejmie działania zmierzające do usunięcia skutków naruszenia.
↑ Wróć na górę§ 12. Prywatność i powierzenie danych
- Zasady przetwarzania danych osobowych określa Polityka Prywatności.
- W zakresie, w jakim Użytkownik (Nauczyciel) wprowadza do Serwisu dane osobowe swoich uczniów, Użytkownik działa jako Administrator tych danych, a AMKBIT Grzegorz Klekiel jako Podmiot Przetwarzający.
- Akceptacja niniejszego Regulaminu jest równoznaczna z zawarciem Umowy Powierzenia Przetwarzania Danych Osobowych (DPA), której pełna treść stanowi Załącznik nr 1 do Regulaminu.
§ 12a. Powierzenie przetwarzania danych
W zakresie, w jakim Użytkownik (np. nauczyciel) jest administratorem danych swoich uczniów, AMKBIT Grzegorz Klekiel działa jako podmiot przetwarzający. Zasady powierzenia określa odrębna Umowa powierzenia przetwarzania danych (DPA), udostępniana w Serwisie lub na żądanie. Zawarcie DPA może następować elektronicznie w panelu.
↑ Wróć na górę§ 13. Zmiany Regulaminu
- AMKBIT Grzegorz Klekiel może zmienić Regulamin z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój funkcji Serwisu).
- O zmianach AMKBIT Grzegorz Klekiel poinformuje poprzez publikację nowej treści w Serwisie (a w usługach wymagających rejestracji – także e-mailowo, o ile to zasadne).
- Dalsze korzystanie z Serwisu po wejściu w życie zmian oznacza ich akceptację.
§ 14. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekielul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl
nr konta: 48 1090 2112 0000 0001 5627 0937 (Santander Bank Polska S.A.) ↑ Wróć na górę
§ 15. Postanowienia końcowe
- Do umów o świadczenie usług elektronicznych stosuje się prawo polskie. W sprawach nieuregulowanych zastosowanie mają przepisy powszechnie obowiązujące.
- Treść Regulaminu można pobrać, zapisać lub wydrukować ze Strony.
§ 16. Integracja z usługami Google
- Serwis umożliwia opcjonalne połączenie konta Użytkownika z kontem Google poprzez protokół OAuth 2.0. Połączenie jest dobrowolne i może być w każdej chwili cofnięte.
- W ramach integracji Serwis może uzyskać dostęp do następujących usług Google, wyłącznie po wyrażeniu zgody przez Użytkownika:
- Google Drive — przeglądanie i wstawianie plików z Dysku Google na tablicę interaktywną;
- Google Calendar — synchronizacja harmonogramu zajęć z kalendarzem Google Użytkownika;
- Google People API — pobranie podstawowych danych profilu (imię, e-mail, zdjęcie) w celu identyfikacji konta.
- Serwis przechowuje tokeny OAuth wyłącznie na serwerze w zaszyfrowanej bazie danych i nie udostępnia ich osobom trzecim. Dane pobierane z konta Google są wykorzystywane wyłącznie w zakresie opisanym w ust. 2.
- Użytkownik może cofnąć dostęp Serwisu do konta Google w dowolnym momencie poprzez panel Serwisu (zakładka „Integracje") lub bezpośrednio w ustawieniach konta Google pod adresem myaccount.google.com/permissions.
- Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy. Szczegółowe zasady przetwarzania danych Google określa § 15 Polityki Prywatności.
Załącznik nr 1 – Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA)
1. Przedmiot: Użytkownik powierza AMKBIT Grzegorz Klekiel przetwarzanie danych osobowych uczniów w celu realizacji usługi dostępu do platformy LekcjeRazem.pl.
2. Zakres: Dane identyfikacyjne uczniów (imię, nazwisko, e-mail) oraz informacje o ich postępach wprowadzane przez Nauczyciela.
3. Obowiązki: AMKBIT Grzegorz Klekiel zobowiązuje się do przetwarzania danych wyłącznie na polecenie Użytkownika (poprzez działanie systemu), zapewnienia poufności i stosowania zabezpieczeń technicznych (szyfrowanie SSL, kopie zapasowe).
4. Podpowierzenie: Użytkownik wyraża zgodę na korzystanie z usług zaufanych podwykonawców (hosting, system mailowy) gwarantujących standard RODO.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Pochodna a styczna do wykresu
- Aproksymacja liniowa funkcji
- Metoda Newtona (numeryczne szukanie pierwiastków)
- Fizyka — chwilowa prędkość na wykresie drogi
Logarytmy
Definicja
$$\log_a b=c \iff a^c=b$$
przy założeniach $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę.
Wartości podstawowe
$$\log_a1=0,\qquad \log_aa=1,\qquad a^{\log_ab}=b$$
Własności
$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$$
$$\log_ax^k=k\log_ax$$
Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie na mnożenie — to czyni go głównym narzędziem przy równaniach wykładniczych.
Zmiana podstawy
$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca},\qquad \log_ab=\frac{1}{\log_ba}$$
Przykład: $\log_832=\frac{\log_232}{\log_28}=\frac{5}{3}$.
Oznaczenia skrócone
$\log x$ to logarytm dziesiętny (podstawa $10$), a $\ln x$ — naturalny (podstawa $e\approx2{,}718$).
Na co uważać
Nie istnieje wzór na $\log_a(x+y)$. W równaniach logarytmicznych zawsze zaczynaj od wyznaczenia dziedziny — argument musi być dodatni, co zwykle eliminuje część formalnie otrzymanych rozwiązań.
Objętość bryły obrotowej — metoda dysków i walcowa
Metoda dysków (obrót wokół osi $OX$): $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx$$ Metoda walcowa (powłokowa) (obrót wokół osi $OY$): $$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\, dx$$
- Walec: $f(x) = r$, $V = \pi r^2 h$ ✓
- Stożek: $f(x) = \tfrac{r}{h}x$, $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ ✓
- Kula: $f(x) = \sqrt{R^2-x^2}$, $V = \tfrac{4}{3}\pi R^3$ ✓
Funkcja liniowa
Postać i wykres
$$f(x)=ax+b$$
Wykresem jest prosta. Współczynnik $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ to wyraz wolny — rzędna punktu przecięcia z osią $OY$.
Monotoniczność
- $a>0$ — funkcja rosnąca
- $a\lt 0$ — funkcja malejąca
- $a=0$ — funkcja stała (prosta pozioma)
Miejsce zerowe
$$ax+b=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{a}\qquad(a\ne0)$$
Wyznaczanie równania prostej
Z dwóch punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$:
$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad y-y_1=a(x-x_1)$$
Wzajemne położenie prostych
$$l_1\parallel l_2 \iff a_1=a_2,\qquad l_1\perp l_2 \iff a_1a_2=-1$$
Układy równań liniowych
Interpretacja geometryczna liczby rozwiązań:
- oznaczony — proste przecinają się (jedno rozwiązanie)
- nieoznaczony — proste się pokrywają (nieskończenie wiele)
- sprzeczny — proste równoległe rozłączne (brak rozwiązań)
Na co uważać
Prosta pionowa $x=c$ nie jest funkcją i nie ma współczynnika kierunkowego — nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Warunek prostopadłości zawodzi też dla pary prosta pozioma–pionowa; ten przypadek rozpatruj osobno.
Asymptota ukośna — wyznaczanie i interpretacja
- Funkcje wymierne: stopień licznika o 1 większy niż mianownika
- $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$: podziel wielomiany — iloraz (liniowy) to asymptota
- Inne funkcje: $\sqrt{x^2+x} \sim x + \tfrac{1}{2}$ dla $x\to+\infty$
- $m = \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+2x+3}{x(x+1)} = \lim \dfrac{x^2+2x+3}{x^2+x} = 1$
- $b = \lim[f(x)-x] = \lim \dfrac{x^2+2x+3 - x(x+1)}{x+1} = \lim \dfrac{x+3}{x+1} = 1$
- Asymptota: $y = x+1$ (co widać też po dzieleniu wielomianów: $\frac{x^2+2x+3}{x+1} = x+1 + \frac{2}{x+1}$)
Metoda bisekcji i stycznych — numeryczne pierwiastki funkcji
Metoda Newtona (stycznych): $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
- Bisekcja: liniowa — po $n$ krokach błąd $\leq \dfrac{b-a}{2^n}$; potrzeba $n \approx 3{,}32\log_{10}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)$ kroków
- Newton: kwadratowa — liczba poprawnych cyfr podwaja się w każdej iteracji (gdy startujemy blisko pierwiastka)
- $x_1 = 1 - \dfrac{1-2}{2} = 1{,}5$
- $x_2 = 1{,}5 - \dfrac{1{,}25}{3} = 1{,}4\overline{16}$
- $x_3 \approx 1{,}41421356$ — już 8 cyfr po 3 iteracjach!
Podobieństwo i twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
Proste równoległe przecinające ramiona kąta wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne:
$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|A_1B_1|}{|B_1C_1|}$$
Twierdzenie odwrotne pozwala z proporcji wnioskować o równoległości — pod warunkiem, że odcinki odkładamy od wierzchołka kąta w tym samym kierunku.
Cechy podobieństwa trójkątów
- kk — dwa kąty jednego równe dwóm kątom drugiego
- bbb — trzy pary boków proporcjonalne
- bkb — dwie pary boków proporcjonalne i kąt między nimi równy
Skala podobieństwa
Jeśli figury są podobne w skali $k$, to:
$$\frac{\text{obwody}}{\ }=k,\qquad \frac{P_1}{P_2}=k^2,\qquad \frac{V_1}{V_2}=k^3$$
Długości rosną jak $k$, pola jak $k^2$, a objętości jak $k^3$.
Punkty szczególne trójkąta
- środkowe → środek ciężkości, dzieli je w stosunku $2:1$ od wierzchołka
- symetralne boków → środek okręgu opisanego
- dwusieczne kątów → środek okręgu wpisanego
- wysokości → ortocentrum
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc $R=\frac{c}{2}$.
Na co uważać
Pole nie rośnie liniowo ze skalą. Jeśli pole wzrosło $16$ razy, skala wynosi $k=4$, nie $16$. Środek okręgu opisanego może leżeć poza trójkątem (przy kącie rozwartym), a wpisanego — zawsze wewnątrz.
Funkcja kwadratowa i równania kwadratowe
Trzy postacie funkcji kwadratowej
Ogólna: $f(x)=ax^2+bx+c$ — widać $c$, czyli punkt przecięcia z osią $OY$.
Kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ — widać wierzchołek $W=(p,q)$.
Iloczynowa: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ — widać miejsca zerowe (istnieje przy $\Delta\ge0$).
Wyróżnik i pierwiastki
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
- $\Delta>0$ — dwa różne pierwiastki
- $\Delta=0$ — jeden pierwiastek podwójny $x_0=\frac{-b}{2a}$
- $\Delta\lt 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych
Wierzchołek paraboli
$$p=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}$$
W praktyce bezpieczniej policzyć $p$, a potem po prostu $q=f(p)$ — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.
Wzory Viète’a
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — np. znaki: oba dodatnie gdy suma i iloczyn są dodatnie, różnych znaków gdy iloczyn jest ujemny. Przydatna tożsamość: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.
Nierówności kwadratowe
Wyznaczamy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy przedziały. Dla $a>0$: nierówność $>0$ daje dwa przedziały zewnętrzne, $\lt 0$ — jeden wewnętrzny.
Na co uważać
Równania niezupełne rozwiązuj bez delty: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm3$; $x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0$. Nigdy nie dziel przez $x$ — stracisz rozwiązanie $x=0$. W zadaniach z parametrem najpierw sprawdź warunek na $\Delta$.
Funkcja — definicja formalna
- Dziedzina $D_f = X$ — zbiór dopuszczalnych argumentów
- Zbiór wartości $W_f \subseteq Y$ — zbiór wartości faktycznie przyjmowanych przez $f$
- Wykres $= \{(x, f(x)) : x \in D_f\}$ — zbiór punktów na płaszczyźnie
- Mianownik ≠ 0: $f(x) = \frac{1}{x-2}$ → $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$
- Podpierwiastkowy ≥ 0: $f(x) = \sqrt{x-3}$ → $x \geq 3$, $D_f = [3, +\infty)$
- Logarytm > 0: $f(x) = \log(x+1)$ → $x > -1$, $D_f = (-1, +\infty)$
- Warunek 1: $x \geq 0$ (podpierwiastkowy)
- Warunek 2: $x - 1 \neq 0$, czyli $x \neq 1$
- $D_f = [0, 1) \cup (1, +\infty)$
Wielomiany
Pojęcia podstawowe
Wielomian stopnia $n$: $W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$, gdzie $a_n\ne0$. Liczbę $a_n$ nazywamy współczynnikiem wiodącym, a $a_0$ — wyrazem wolnym.
Twierdzenie Bézouta
$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$
Reszta z dzielenia przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$. Stąd kluczowy wniosek:
$$(x-a)\mid W(x) \iff W(a)=0$$
Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$.
Pierwiastki wymierne
Jeśli współczynniki są całkowite, każdy pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) spełnia: $p$ dzieli wyraz wolny, $q$ dzieli współczynnik wiodący. Gdy $a_n=1$, pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.
Rozkład na czynniki
Metody: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, dzielenie przez znaleziony dwumian (schemat Hornera).
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
Nierówności wielomianowe
Rozkładamy na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy współczynnik wiodący jest dodatni). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Na co uważać
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wskazuje tylko kandydatów — każdego trzeba sprawdzić podstawieniem. Nie gwarantuje też, że pierwiastki wymierne w ogóle istnieją (wielomian $x^3-2$ nie ma żadnego).
Monotoniczność i miejsca zerowe funkcji
- Rosnąca: dla $x_1 \lt x_2$ zachodzi $f(x_1) \lt f(x_2)$ — im większy argument, tym większa wartość
- Malejąca: dla $x_1 \lt x_2$ zachodzi $f(x_1) > f(x_2)$
- Miejsce zerowe: argument $x_0$ taki, że $f(x_0) = 0$ — punkt przecięcia z osią $OX$
- Ekstremum lokalne: punkt, gdzie funkcja „zmienia" monotoniczność
- Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$: rosnąca gdy $a > 0$, malejąca gdy $a \lt 0$
- Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$: malejąca potem rosnąca (gdy $a > 0$), z wierzchołkiem jako minimum
- W szkole średniej: z wykresu lub tablicą znaków pochodnej
- $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
- Parabola otwarta ku górze, wierzchołek $(0, -4)$
- Malejąca na $(-\infty, 0)$, rosnąca na $(0, +\infty)$
Trygonometria w trójkącie
Funkcje kąta ostrego
W trójkącie prostokątnym, dla kąta $\alpha$:
$$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy kącie}}$$
Wartości szczególne
$\sin30^\circ=\frac12$, $\ \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\ \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \cos60^\circ=\frac12$
Związki podstawowe
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
Ponadto $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$ — stąd nazwa „cosinus” (co-sinus, sinus kąta dopełniającego).
Twierdzenie sinusów i cosinusów
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Twierdzenie cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa — dla $\gamma=90^\circ$ mamy $\cos90^\circ=0$ i wzór redukuje się do $c^2=a^2+b^2$.
Pole trójkąta
$$P=\frac12ab\sin\gamma,\qquad P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\qquad P=\frac{abc}{4R}=sr$$
gdzie $s=\frac{a+b+c}{2}$ (wzór Herona).
Na co uważać
We wzorze $\frac12ab\sin\gamma$ kąt musi leżeć między podanymi bokami. Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, a sinus wciąż dodatni. Przy danych bok-bok-kąt mogą istnieć dwa różne trójkąty.
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Funkcja wykładnicza
$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1$$
Dziedzina: $\mathbb{R}$. Zbiór wartości: $(0,+\infty)$ — funkcja nigdy nie przyjmuje wartości $0$ ani ujemnych. Zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$, a oś $OX$ jest asymptotą poziomą.
Dla $a>1$ rośnie, dla $0\lt a\lt 1$ maleje.
Funkcja logarytmiczna
$$f(x)=\log_ax$$
Jest funkcją odwrotną do wykładniczej — jej wykres to odbicie wykresu $a^x$ względem prostej $y=x$. Dziedzina: $(0,+\infty)$, zbiór wartości: $\mathbb{R}$, przechodzi przez $(1,0)$, oś $OY$ jest asymptotą pionową.
Równania wykładnicze
Podstawowa metoda: sprowadzenie obu stron do tej samej podstawy.
$$a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$$
Przykład: $2^x=32=2^5$, więc $x=5$.
Metoda podstawienia
Równania typu $a^{2x}+pa^x+q=0$ sprowadzamy do kwadratowego, podstawiając $t=a^x>0$.
Przykład: $4^x-5\cdot2^x+4=0$, podstawiamy $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$, skąd $t=1$ lub $t=4$, czyli $x=0$ lub $x=2$.
Nierówności wykładnicze
Kierunek zależy od podstawy: dla $a>1$ zostaje bez zmian, dla $0\lt a\lt 1$ odwraca się.
Na co uważać
Po podstawieniu odrzuć rozwiązania $t\le0$ — funkcja wykładnicza takich wartości nie przyjmuje. W równaniach logarytmicznych zawsze zacznij od dziedziny.
Logarytm — definicja i własności
- $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$ (iloczyn → suma)
- $\log_a\frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$ (iloraz → różnica)
- $\log_a m^k = k \log_a m$ (potęga → mnożnik)
- $\log_a a = 1$; $\log_a 1 = 0$
- Zamiana podstawy: $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$
- $\log_2 32 + \log_2 4 = \log_2 (32 \cdot 4) = \log_2 128$
- $2^7 = 128 \Rightarrow \log_2 128 = 7$
Ciągi liczbowe
Pojęcie ciągu
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Wyraz o numerze $n$ oznaczamy $a_n$. Ciąg można zadać wzorem ogólnym (jawnym) albo rekurencyjnym.
Ciąg arytmetyczny
Stała różnica $r$ między kolejnymi wyrazami:
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Własność charakterystyczna: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.
Ciąg geometryczny
Stały iloraz $q$ kolejnych wyrazów:
$$a_n=a_1q^{n-1}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$
Własność: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Szereg geometryczny
Dla $|q|\lt 1$ suma nieskończenie wielu wyrazów jest skończona:
$$S=\frac{a_1}{1-q}$$
Przykład: $1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
Procent składany
$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
To bezpośrednie zastosowanie ciągu geometrycznego — kapitał rośnie geometrycznie.
Na co uważać
We wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. Wzór na sumę ciągu geometrycznego nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek rozpatruj osobno. Przy szeregu najpierw sprawdź warunek $|q|\lt 1$.
Trygonometria — definicja jednostkowa
- I ćwiartka (0°–90°): sin $+$, cos $+$, tg $+$
- II ćwiartka (90°–180°): sin $+$, cos $-$, tg $-$
- III ćwiartka (180°–270°): sin $-$, cos $-$, tg $+$
- IV ćwiartka (270°–360°): sin $-$, cos $+$, tg $-$
- $150° = 180° - 30°$ → II ćwiartka
- $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ (sin $+$ w II ćwiartce)
- $\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cos $-$ w II ćwiartce)
Geometria analityczna
Punkty i odcinki
$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
$$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Prosta
Postać kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$. Odległość punktu od prostej:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Wzór wymaga postaci ogólnej — prostą $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
Okrąg i koło
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek $S=(a,b)$, promień $r$. Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka. Koło to nierówność $\le r^2$. Z postaci rozwiniętej środek i promień wyznaczamy przez uzupełnianie do kwadratu.
Wektory
$$\vec{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1],\qquad |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
$$\vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2=|\vec u||\vec v|\cos\alpha$$
Iloczyn skalarny daje liczbę. Kluczowy wniosek: $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\circ\vec v=0$.
Na co uważać
Wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Jeśli po uzupełnieniu do kwadratu prawa strona równania okręgu wyjdzie ujemna, równanie nie opisuje żadnego okręgu.
Prawdopodobieństwo — pojęcia podstawowe
- Doświadczenie losowe — eksperyment o niepewnym wyniku (rzut kostką)
- Przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$ — zbiór wszystkich możliwych wyników
- Zdarzenie $A$ — podzbiór $\Omega$ (zestaw wybranych wyników)
- Zdarzenie pewne — $\Omega$ (zawsze zachodzi)
- Zdarzenie niemożliwe — $\emptyset$ (nigdy nie zachodzi)
- $0 \leq P(A) \leq 1$ zawsze
- $P(\Omega) = 1$; $P(\emptyset) = 0$
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — zdarzenie przeciwne
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ — ogólna reguła dodawania
- Zdarzenia niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
- $|\Omega| = 36$ (6×6)
- Sumy = 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → $|A| = 6$
- $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
Pochodna funkcji
Definicja
$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Pochodna mierzy chwilowe tempo zmian funkcji. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$.
Równanie stycznej: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
Pochodne funkcji elementarnych
$$(c)'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x$$
Reguły różniczkowania
$$(f\pm g)'=f'\pm g'$$
$$(fg)'=f'g+fg'$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$
$$\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Badanie funkcji
- $f'(x)>0$ — funkcja rosnąca
- $f'(x)\lt 0$ — funkcja malejąca
- $f'(x_0)=0$ i zmiana znaku z $+$ na $-$ — maksimum lokalne
- $f'(x_0)=0$ i zmiana znaku z $-$ na $+$ — minimum lokalne
Interpretacja fizyczna
Pochodna drogi po czasie to prędkość, pochodna prędkości — przyspieszenie.
Na co uważać
Sam warunek $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale ekstremum nie ma (brak zmiany znaku). Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Przy funkcji złożonej łatwo pominąć „pochodną wnętrza”. Szukając wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym, sprawdź także końce przedziału.
Kombinatoryka
Reguły podstawowe
Reguła mnożenia: jeśli wybór składa się z $k$ niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy. Reguła dodawania: jeśli wybór to jeden z rozłącznych przypadków, liczby możliwości dodajemy.
Cztery podstawowe schematy
$$P_n=n! \qquad\text{— permutacje (ustawienie wszystkich } n \text{ elementów)}$$
$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \qquad\text{— wariacje bez powtórzeń}$$
$$\overline{V}_n^k=n^k \qquad\text{— wariacje z powtórzeniami}$$
$$C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \qquad\text{— kombinacje}$$
Jak wybrać schemat
Zadaj dwa pytania:
- Czy kolejność ma znaczenie? Tak → wariacje/permutacje. Nie → kombinacje.
- Czy elementy mogą się powtarzać? Tak → wariacje z powtórzeniami.
Przykład: „delegacja 3-osobowa z 5 osób” — kolejność nieistotna, więc $\binom53=10$. „Przewodniczący, zastępca, sekretarz z 5 osób” — kolejność istotna, więc $5\cdot4\cdot3=60$.
Symbol Newtona
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},\qquad \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$$
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$
Współczynniki tworzą kolejne wiersze trójkąta Pascala. Suma wykładników w każdym składniku zawsze wynosi $n$ — to szybki test poprawności.
Na co uważać
Przyjmujemy $0!=1$. Mylenie kombinacji z wariacjami to najczęstszy błąd — zawsze zacznij od pytania o kolejność.
Bryły obrotowe
Walec
$$V=\pi r^2H,\qquad P_b=2\pi rH,\qquad P_c=2\pi r(r+H)$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o wymiarach $2\pi r$ (obwód podstawy) na $H$. Przekrój osiowy to prostokąt $2r\times H$.
Stożek
$$V=\frac13\pi r^2H,\qquad P_b=\pi rl,\qquad P_c=\pi r(r+l)$$
gdzie $l$ to tworząca, powiązana z pozostałymi wymiarami przez twierdzenie Pitagorasa:
$$l=\sqrt{r^2+H^2}$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu $l$ i kącie $\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ$. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny.
Kula
$$V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2$$
Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem. Przekrój przez środek (koło wielkie) ma promień $r$, a w odległości $d$ od środka — promień $\sqrt{r^2-d^2}$.
Skalowanie
Podwojenie promienia zwiększa pole $4$ razy, a objętość $8$ razy — bo pole zależy od $r^2$, a objętość od $r^3$.
Na co uważać
W stożku do objętości wchodzi wysokość $H$, a do pola bocznego tworząca $l$ — mylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie. W zadaniach o przekroju osiowym będącym kwadratem (walec) zachodzi $H=2r$.
Zbiory, przedziały i wartość bezwzględna
Działania na zbiorach
$A\cup B$ — suma (elementy należące do któregokolwiek), $A\cap B$ — część wspólna (do obu), $A\setminus B$ — różnica (do $A$, ale nie do $B$).
Przedziały
$$\langle a,b\rangle=\{x: a\le x\le b\},\qquad (a,b)=\{x: a\lt x\lt b\}$$
Nawias ostry (domknięty) oznacza, że koniec należy do zbioru; okrągły — że nie należy. Przy $\pm\infty$ zawsze stosujemy nawias okrągły.
Wartość bezwzględna
$$|x|=\begin{cases}x & \text{dla } x\ge0\\ -x & \text{dla } x\lt 0\end{cases}$$
Interpretacja geometryczna: $|x-c|$ to odległość punktu $x$ od punktu $c$ na osi liczbowej.
Równania i nierówności z modułem
$$|x|=a \iff x=a \lor x=-a\qquad(a>0)$$
$$|x|\lt a \iff -a\lt x\lt a$$
$$|x|>a \iff x\lt -a \lor x>a$$
Wzory skróconego mnożenia
$$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
$$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$
$$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$
Na co uważać
Nierówność „mniejsze” daje jeden przedział (koniunkcja), „większe” — dwa rozłączne (alternatywa). Zapisu $-a\lt x\lt a$ nie wolno używać dla nierówności „większe”. Przy układzie nierówności bierzemy część wspólną, przy alternatywie — sumę.
Pojęcie i własności funkcji
Definicja
Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi dziedziny przypisuje dokładnie jedną wartość. Zapisujemy $f:X\to Y$, $y=f(x)$.
Podstawowe pojęcia
- Dziedzina — zbiór dopuszczalnych argumentów (np. mianownik $\ne0$, wyrażenie pod pierwiastkiem $\ge0$)
- Zbiór wartości — wszystkie przyjmowane wartości
- Miejsce zerowe — argument, dla którego $f(x)=0$ (przecięcie z osią $OX$)
Monotoniczność
Funkcja jest rosnąca, gdy dla $x_1\lt x_2$ zachodzi $f(x_1)\lt f(x_2)$, a malejąca, gdy $f(x_1)>f(x_2)$.
Przekształcenia wykresu
$$y=f(x)+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$
$$y=f(x-p)\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$
$$y=-f(x)\ :\ \text{symetria względem } OX$$
$$y=f(-x)\ :\ \text{symetria względem } OY$$
Przesunięcie o wektor $[p,q]$ daje łącznie $y=f(x-p)+q$.
Proporcjonalność odwrotna
$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a$$
Wykresem jest hiperbola; osie układu są jej asymptotami.
Na co uważać
W zapisie $f(x-p)$ znak jest mylący: $f(x-3)$ przesuwa wykres w prawo o $3$. Przy osi $OY$ jest intuicyjnie: $f(x)+2$ to przesunięcie w górę.
Funkcje wymierne
Hiperbola
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\ne0,\ x\ne0$$
Dla $a>0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ — w II i IV. Osie układu są asymptotami.
Funkcja homograficzna
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\ne0,\ ad-bc\ne0$$
$$\text{asymptota pionowa: } x=-\frac{d}{c},\qquad \text{pozioma: } y=\frac{a}{c}$$
Warunek $ad-bc\ne0$ gwarantuje, że funkcja nie redukuje się do stałej.
Dziedzina
Wyznaczamy ją zawsze na początku: mianownik musi być różny od zera. Dla $f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$ mamy $x\ne\pm3$.
Równania wymierne
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=0 \iff P(x)=0 \ \land\ Q(x)\ne0$$
Ułamek jest zerem, gdy licznik się zeruje, a mianownik nie.
Nierówności wymierne
$$\frac{P(x)}{Q(x)}>0 \iff P(x)\cdot Q(x)>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc nierówność wymierną sprowadzamy do iloczynowej i rozwiązujemy metodą siatki znaków.
Na co uważać
Nigdy nie mnóż nierówności przez mianownik — nie znasz jego znaku, więc nie wiesz, czy odwrócić kierunek. Zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika. Na końcu odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
Strona 3 z 21 · 489 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.