Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Zbiory i przedziały liczbowe
Zbiory i przynależność
Zbiór to kolekcja elementów. Zapis $a\in A$ czytamy „$a$ należy do $A$”, a $a\notin A$ — „nie należy”. Symbol $\subset$ dotyczy dwóch zbiorów: $A\subset B$ znaczy, że każdy element $A$ jest też elementem $B$.
Działania na zbiorach
- Suma $A\cup B$ — elementy należące do $A$ lub do $B$
- Część wspólna $A\cap B$ — elementy należące do $A$ i do $B$
- Różnica $A\setminus B$ — elementy $A$, które nie należą do $B$
Różnica nie jest przemienna: $A\setminus B$ to zwykle co innego niż $B\setminus A$.
Liczba podzbiorów
$$\text{zbiór } n\text{-elementowy ma } 2^n \text{ podzbiorów}$$
Wliczamy w to zbiór pusty i cały zbiór — o nich najłatwiej zapomnieć.
Zbiory liczbowe
$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$
naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste. Liczby niewymierne (np. $\sqrt2$, $\pi$) należą do $\mathbb{R}$, ale nie do $\mathbb{Q}$.
Przedziały — zapis
- $\langle a,\,b\rangle$ — domknięty, oba końce należą ($a\le x\le b$)
- $(a,\,b)$ — otwarty, końce nie należą ($a
- $\langle a,\,b)$ — domknięty z lewej ($a\le x
- $\langle a,\,b)$ — domknięty z lewej ($a\le x
Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły: $\langle 3,\,+\infty)$ — nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do przedziału.
Działania na przedziałach
Warto naszkicować oba przedziały na jednej osi liczbowej.
- część wspólna — od większego lewego końca do mniejszego prawego
- suma — od mniejszego lewego do większego prawego (o ile przedziały się zazębiają)
Przykład: $\langle 1,\,6\rangle\cap\langle 4,\,9\rangle=\langle 4,\,6\rangle$.
Na co uważać
Nie mylić $\in$ (element i zbiór) z $\subset$ (dwa zbiory). Przy liczeniu liczb całkowitych w przedziale sprawdź uważnie, czy końce należą — najczęstszy błąd to pomyłka o jeden. Jeśli przedziały nie mają części wspólnej, ich suma zostaje zapisana z symbolem $\cup$ i nie da się jej „skleić” w jeden przedział.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.