Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Zagadnienia optymalizacyjne
Czym jest zadanie optymalizacyjne
Szukamy wartości największej lub najmniejszej pewnej wielkości — największego pola, najmniejszego kosztu, najkrótszej drogi — przy podanym warunku.
Schemat postępowania
- Oznacz szukaną wielkość literą i nazwij, co optymalizujesz
- Zapisz warunek z treści zadania (obwód, objętość, suma)
- Wyeliminuj jedną zmienną, korzystając z warunku
- Ustal dziedzinę — wymiary muszą być dodatnie
- Zbadaj funkcję pochodną i znajdź ekstremum
- Sprawdź, czy punkt należy do dziedziny, i odpowiedz na pytanie zadania
Przykład — największe pole prostokąta
Prostokąt ma obwód $40$. Skoro $2a+2b=40$, to $b=20-a$, a pole wynosi:
$$P(a)=a(20-a)=-a^2+20a,\qquad a\in(0,\,20)$$
Pochodna $P^{\prime}(a)=-2a+20$ zeruje się dla $a=10$ i zmienia znak z $+$ na $-$, więc jest to maksimum:
$$P(10)=10\cdot10=100$$
Wniosek ogólny: spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma zawsze kwadrat.
Przykład — największy iloczyn
Suma dwóch liczb dodatnich wynosi $12$. Iloczyn to $f(x)=x(12-x)=12x-x^2$. Pochodna $12-2x$ zeruje się dla $x=6$, więc obie liczby równe $6$ dają największy iloczyn $36$.
Przykład — najoszczędniejsza puszka
Walec o ustalonej objętości $V$ ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej, gdy:
$$h=2r$$
czyli gdy wysokość równa się średnicy podstawy.
Twierdzenie Weierstrassa
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze osiąga wartość największą i najmniejszą. Dlatego przy przedziale domkniętym oprócz punktów krytycznych sprawdzamy też jego końce.
Na co uważać
Największy błąd to pominięcie dziedziny — wzór matematyczny dopuszcza wartości bez sensu fizycznego, np. ujemny bok. Drugi błąd to zatrzymanie się na wartości zmiennej: zadanie zwykle pyta o pole, koszt lub wymiary, więc na końcu trzeba wrócić do treści i policzyć to, o co naprawdę pytano.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.