Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Wektory w układzie współrzędnych — działania
- Fizyka: siły, prędkości, przyspieszenia
- Geometria: wyznaczanie kątów, równania prostych
- Grafika komputerowa: transformacje
Wektory w układzie współrzędnych
Współrzędne wektora
Wektor o początku $A=(x_A,\,y_A)$ i końcu $B=(x_B,\,y_B)$ ma współrzędne:
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Odwrotna kolejność daje wektor przeciwny $\vec{BA}$.
Długość wektora
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$$
Przykład: dla $\vec{u}=[4,\,2]$ mamy $|\vec{u}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.
Działania na wektorach
$$\vec{u}+\vec{v}=[u_x+v_x,\ u_y+v_y],\qquad k\vec{u}=[k\,u_x,\ k\,u_y]$$
Mnożenie przez liczbę $k>0$ zmienia tylko długość, a $k<0$ dodatkowo odwraca zwrot.
Iloczyn skalarny
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Kąt między wektorami
Znak iloczynu skalarnego od razu mówi, jaki jest kąt:
- $\vec{u}\circ\vec{v}=0 \Rightarrow$ wektory prostopadłe
- $\vec{u}\circ\vec{v}>0 \Rightarrow$ kąt ostry
- $\vec{u}\circ\vec{v}<0 \Rightarrow$ kąt rozwarty
Sam kąt wyznaczamy ze wzoru:
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$$
Wektory równoległe
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego, co sprawdzamy warunkiem:
$$u_x v_y-u_y v_x=0$$
Zastosowania
- przesunięcie punktu o wektor: $(x,\,y)+[p,\,q]=(x+p,\,y+q)$
- środek odcinka jako punkt „w połowie wektora”
- sprawdzanie, czy trzy punkty leżą na jednej prostej (wektory równoległe)
- sprawdzanie prostopadłości boków wielokąta (iloczyn skalarny równy zero)
Na co uważać
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po kolei” — wynikiem jest liczba, którą otrzymujemy przez dodanie iloczynów. Pamiętaj też, że wektor to nie punkt: ten sam wektor może zaczynać się w dowolnym miejscu układu, bo liczy się tylko kierunek, zwrot i długość.
2 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.