Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Układy równań liniowych
Czym jest układ równań
To dwa (lub więcej) równania rozpatrywane jednocześnie. Rozwiązaniem jest para $(x,y)$ spełniająca oba równania naraz.
Metoda podstawiania
Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego:
$$\begin{cases}y=2x-1\3x+y=9\end{cases} \Rightarrow 3x+(2x-1)=9 \Rightarrow x=2,\ y=3$$
Wygodna, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik $1$.
Metoda przeciwnych współczynników
Mnożymy równania tak, by współczynniki przy jednej niewiadomej były przeciwne, a następnie dodajemy stronami:
$$\begin{cases}2x+y=7\x-y=2\end{cases} \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3,\ y=1$$
Liczba rozwiązań — interpretacja geometryczna
$$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\Rightarrow\text{oznaczony — proste przecinają się}$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\Rightarrow\text{nieoznaczony — proste się pokrywają}$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\Rightarrow\text{sprzeczny — proste równoległe rozłączne}$$
Zadania tekstowe
Schemat: oznacz niewiadome, zapisz dwa warunki jako równania, rozwiąż układ, sprawdź wynik w treści zadania. Klasyczny przykład: suma dwóch liczb wynosi $20$, różnica $4$ — dodanie równań daje $2x=24$.
Na co uważać
Przed porównywaniem proporcji uporządkuj oba równania do postaci $ax+by=c$. Porównywanie współczynników z równań zapisanych w różnych postaciach prowadzi do błędnych wniosków o liczbie rozwiązań.
Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi
- Podstawiania: Wyraź jedną niewiadomą z jednego równania i podstaw do drugiego.
- Przeciwnych współczynników: Pomnóż równania tak, by jeden ze współczynników miał wartości przeciwne — dodaj stronami.
- Graficzna: Narysuj obie proste — punkt przecięcia to rozwiązanie.
- Dodaj oba: $6x = 18 \Rightarrow x = 3$
- Podstaw: $2\cdot3 + 3y = 12 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$
- Rozwiązanie: $(3, 2)$
2 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.