Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Proporcjonalność, podział proporcjonalny i skala
Proporcja
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c$$
Mnożenie na krzyż to podstawowe narzędzie — zamienia proporcję w zwykłe równanie.
Proporcjonalność prosta
Wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej w tym samym stosunku. Iloraz jest stały:
$$\frac{y}{x}=k \quad\Rightarrow\quad y=kx$$
Przykłady: liczba biletów i kwota, droga i zużycie paliwa, ilość składników i liczba porcji.
Proporcjonalność odwrotna
Wzrost jednej wielkości powoduje spadek drugiej. Stały jest iloczyn:
$$x\cdot y=k$$
Przykłady: liczba robotników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu.
Jak rozpoznać: zadaj sobie pytanie „czy więcej znaczy więcej, czy mniej?”. Czterech malarzy pracuje $9$ dni, więc sześciu — krócej. Stała jest praca: $4\cdot9=36$ dniówek, stąd $36:6=6$ dni.
Podział proporcjonalny
Schemat jest zawsze ten sam:
- zsumuj liczby ze stosunku — dostajesz liczbę części
- podziel całość przez liczbę części — dostajesz wartość jednej części
- pomnóż przez odpowiednie liczby ze stosunku
Przykład: $120$ zł w stosunku $2:3$. Części jest $5$, jedna warta $24$ zł, więc podział to $48$ zł i $72$ zł.
Kontrola: suma otrzymanych wartości musi dać całość.
Skala
Zapis $1:n$ oznacza, że $1$ jednostka na mapie odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.
$$\text{odległość rzeczywista}=\text{odległość na mapie}\times n$$
Warto zapamiętać: przy skali $1:100\,000$ każdy centymetr mapy to dokładnie $1$ km.
Wyznaczanie skali
Obie odległości sprowadzamy do tych samych jednostek i tworzymy stosunek. Dla $8$ cm na mapie i $4$ km w terenie: $4$ km $=400\,000$ cm, więc skala to $\frac{8}{400\,000}=1:50\,000$.
Skala a pole
Długości zmieniają się jak skala, ale pola jak jej kwadrat. W skali $1:100$ pole rzeczywiste jest $10\,000$ razy większe niż na planie — nie $100$ razy.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to podanie wartości jednej części zamiast szukanej części podziału. Drugi — zastosowanie proporcji prostej tam, gdzie działa odwrotna; wtedy wynik wychodzi sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem (więcej pracowników, a dłużej), co warto wychwycić.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.