Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Pierwiastki i potęgi o wykładniku wymiernym
Wykładnik całkowity
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^0=1 \ (a\neq0)$$
Ujemny wykładnik daje ułamek, a nie liczbę ujemną: $3^{-2}=\frac19$, a nie $-9$. Dla ułamka w podstawie działa to jak odwrócenie: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$.
Wykładnik wymierny
$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\qquad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
Przykłady: $16^{\frac12}=4$, $8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4$, $\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}=2$.
Praktyczna sztuczka: zamień podstawę na potęgę liczby pierwszej. $8^{\frac23}=(2^3)^{\frac23}=2^2=4$ liczy się szybciej niż przez pierwiastek.
Działania na pierwiastkach
$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
Dodawanie i odejmowanie nie rozdziela się pod pierwiastkiem: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, ale $\sqrt{25}=5$.
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Szukamy największego kwadratu ukrytego w liczbie:
$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2,\qquad \sqrt{18}=3\sqrt2,\qquad \sqrt{32}=4\sqrt2$$
Po sprowadzeniu do tego samego pierwiastka można dodawać: $5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$.
Pierwiastki stopnia nieparzystego
Istnieją także dla liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-27}=-3$, bo $(-3)^3=-27$. Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
Usuwanie niewymierności z mianownika
Pojedynczy pierwiastek — mnożymy przez niego licznik i mianownik:
$$\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$
Suma lub różnica — mnożymy przez sprzężenie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
$$\frac{4}{\sqrt5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5+1$$
Na co uważać
Zapis $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$ — dla $a=-3$ mamy $\sqrt{9}=3$. Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, dlatego równanie $x^2=9$ ma dwa rozwiązania, ale $\sqrt9$ oznacza tylko $3$.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.