Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Ostrosłupy — siatki, pole i objętość
Czym różni się ostrosłup od graniastosłupa
Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek nad nią; wszystkie ściany boczne to trójkąty zbiegające się w tym wierzchołku. Graniastosłup ma dwie podstawy i prostokątne ściany boczne.
Ile ma elementów
Dla podstawy o $n$ bokach:
- ścian: $n+1$
- wierzchołków: $n+1$
- krawędzi: $2n$
Stąd zadania odwrotne: ostrosłup o $12$ krawędziach ma podstawę sześciokątną ($2n=12$), a ostrosłup o $9$ wierzchołkach — ośmiokątną ($n+1=9$).
Ostrosłup prawidłowy
Ma podstawę będącą wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie ściany boczne są wtedy przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Siatka
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: jeden kwadrat i cztery jednakowe trójkąty równoramienne. Czworościan foremny: cztery jednakowe trójkąty równoboczne.
Pole powierzchni
$$P_c=P_p+P_b$$
Pole boczne to suma pól trójkątów. Dla ostrosłupa prawidłowego o $n$ ścianach, krawędzi podstawy $a$ i wysokości ściany bocznej $h$ (apotemie):
$$P_b=n\cdot\frac{a\cdot h}{2}$$
Objętość
$$V=\frac13 P_p\cdot H$$
Współczynnik $\frac13$ nie jest przypadkowy: trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Wysokość bryły a wysokość ściany
To dwie różne wielkości. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym łączy je trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $H$ i $\frac{a}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $h$:
$$h^2=H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Przykład: $a=10$, $h=13$, więc $H=\sqrt{169-25}=12$.
Zadania odwrotne
Z $V=\frac13 P_p H$ wynika $H=\frac{3V}{P_p}$ oraz $P_p=\frac{3V}{H}$. Zwróć uwagę na trójkę w liczniku — to najczęściej gubiony element.
Na co uważać
Pomijanie $\frac13$ przy objętości ostrosłupa to błąd numer jeden. Numer dwa to wstawianie wysokości bryły zamiast wysokości ściany bocznej przy liczeniu pola — zawsze sprawdź, którą wielkość podano w treści.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.